Se uma matriz A é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss na matriz [A mid I] encontraremos [I mid A^-1], onde I é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
[rrrr2 & 0 & 0 & -1 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A = 2 & 0 & 0 & -1 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 3
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada [Amid I], aplicar operações elementares de linha para obter [Imid A^-1] e, assim, extrair A^-1.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
[cccc|cccc 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Usamos o pivô ,2 em posição (1,1). Primeiro normalizamos a linha 1 dividindo por 2 e, em seguida, zeramos abaixo:
R1 12R1,
R2 R2 -2R1,
R3 R3 +R1.
O resultado é
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -tfrac12 & tfrac12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac12 & tfrac12 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

O pivô na coluna 2 é o 1 em posição (2,2). Já há zeros em toda a coluna 2 acima e abaixo, então não precisamos fazer nenhuma operação extra nesta coluna.

Passo 5

O pivô na coluna 3 é o 1 em posição (3,3). Zeramos abaixo:
R4 R4 -2R3.
Isso leva a
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -tfrac12 & tfrac12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac12 & tfrac12 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & -2& 1 ]

Passo 6

O pivô na coluna 4 está em R4 e vale 2. Normalizamos e, em seguida, zeramos acima:
R4 12R4,
R1 R1 +tfrac12R4,
R2 R2 -R4,
R3 R3 -tfrac12R4.
Após essas operações obtemos
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac14 & 0 & -tfrac12 & tfrac14 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac12& 1 & 1 & -tfrac12 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac34 & 0 & tfrac32 & -tfrac14 0 & 0 & 0 & 1 & -tfrac12& 0 & -1 & tfrac12 ]
Agora o bloco à esquerda é a identidade.

Resposta

A inversa é
A^-1 = tfrac14 & 0 & -tfrac12 & tfrac14 -tfrac12 & 1 & 1 & -tfrac12 tfrac34 & 0 & tfrac32 & -tfrac14 -tfrac12 & 0 & -1 & tfrac12

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