Se possível, encontre a inversa das seguintes matrizes:
[rrrr0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 3 & 0]

Passo 1

Temos a matriz
A = 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 3 & 0
e queremos A^-1. O método é montar a matriz aumentada (Amid I4) e aplicar eliminação de Gauss–Jordan até obter (I4mid A^-1).

Passo 2

Escrevemos (Amid I) e trocamos as linhas 1 e 2 para obter pivô 1 na coluna 1:
[cccc|cccc 0&0&1&1&1&0&0&0 1&0&0&1&0&1&0&0 1&1&1&-1&0&0&1&0 0&2&3&0&0&0&0&1 ] ;xrightarrowL1rightarrow L2; [cccc|cccc 1&0&0&1&0&1&0&0 0&0&1&1&1&0&0&0 1&1&1&-1&0&0&1&0 0&2&3&0&0&0&0&1 ]

Passo 3

Eliminamos na coluna 1 abaixo do pivô:
L3 L3 - L1:
[cccc|cccc 1&0&0&1&0&1&0&0 0&0&1&1&1&0&0&0 0&1&1&-2&0&-1&1&0 0&2&3&0&0&0&0&1 ]

Passo 4

Agora pivotamos na coluna 2 trocando L2rightarrow L3, e eliminamos em L4:
[cccc|cccc 1&0&0&1&0&1&0&0 0&1&1&-2&0&-1&1&0 0&0&1&1&1&0&0&0 0&2&3&0&0&0&0&1 ] ;xrightarrowL4 L4 - 2L2; [cccc|cccc 1&0&0&1&0&1&0&0 0&1&1&-2&0&-1&1&0 0&0&1&1&1&0&0&0 0&0&1&4&0&2&-2&1 ]

Passo 5

O pivô da coluna 3 já está em L3. Eliminamos em L2 e L4:
L2 L2 - L3, L4 L4 - L3 ;Longrightarrow; [cccc|cccc 1&0&0&1&0&1&0&0 0&1&0&-3&-1&-1&1&0 0&0&1&1&1&0&0&0 0&0&0&3&-1&2&-2&1 ]

Passo 6

Por fim, pivotamos na coluna 4 em L4 e eliminamos em L1,L2,L3:
L4 tfrac13L4 ;=; l[0;0;0;1mid -tfrac13;tfrac23;-tfrac23;tfrac13r],
L1 L1 - L4, L2 L2 + 3L4, L3 L3 - L4
Isso gera a parte esquerda igual a I4 e a direita exatamente A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac13 & tfrac13 & tfrac23 & -tfrac13 -2 & 1 & -1 & 1 tfrac43 & -tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13 -tfrac13 & tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13

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