[i] Em um projeto ambicioso de energia eólica no litoral de São Luís, Maranhão, uma nova geraçāo de turbinas eólicas está sendo instalada. O pilar de sustentaçāo de cada turbina foi projetado para suportar forças limites bem definidas. A força resultante máxima na direção vertical (para baixo) que o pilar aguenta é de 150 kN e a força de cisalhamento (perpendicular an pilar) máxima é de 80 kN . No dia da instalação, a previsāo do tempo aponta para ventos fortes e variáveis nas direçōes \vec{i} (direçāo frontal), j (direção lateral) e \vec{k} (direção vertical), considere a base ( \vec{j}, \vec{k} ) ortonormal e positiva. As forças atuantes na base do pilar, considerando a base vetorial ( \vec{i} \vec{j}, \vec{k} ), são:
  • A força do vento sobre a turbina:
F_{\text {vente }}=(40,-30,-60) \mathrm{kN}
  • O peso combinado da turbina e da estrutura do pila :
F_{\mathrm{Preo}}=(0,0,-120) \mathrm{kN}
(a) Calcule o vetor resultante total da força que atuará sobre o pila.
(b) Determine se com as especificaçōes dadas sobre o pilar, ele irá aguentar as condiçōes descritas. Observação: neste item, devem ser calculadas as projeçōes vertical e horizontal da força resultante, e em seguida, deve-se encontrar suas magnitudes (norma da força).

Passo 1

O enunciado trata de um pilar suportando duas forças vetoriais em (\vec{i},\vec{j},\vec{k}): a força do vento \vec{F}_{\text{vento}}=(40,-30,-60)\,\mathrm{kN} e o peso \vec{F}_{\text{peso}}=(0,0,-120)\,\mathrm{kN}. Precisamos calcular (a) o vetor resultante total e (b) projetar essa resultante nas direções vertical e horizontal, achar suas normas e comparar com os limites de 150\,\mathrm{kN} (vertical) e 80\,\mathrm{kN} (cisalhamento horizontal).

Passo 2

Para (a), usamos a adição de vetores em componente cartesiana. Como a base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) é ortonormal, basta somar as componentes correspondentes:
\vec{F}_R \;=\;\vec{F}_{\text{vento}}+\vec{F}_{\text{peso}}

Passo 3

Somando componente a componente:
\begin{aligned} F_{R,x}&=40+0=40,\\\ F_{R,y}&=-30+0=-30,\\\ F_{R,z}&=-60+(-120)=-180. \end{aligned}
Logo
\vec{F}_R=(40,\,-30,\,-180)\,\mathrm{kN}.

Passo 4

Para a projeção vertical, observamos a componente ao longo de \vec{k}. Como a base é ortonormal, essa projeção é simplesmente
F_{R,z}=-180\;\mathrm{kN}.
A norma da componente vertical (força para baixo) é
\bigl\|F_{R,\text{vert}}\bigr\|=\bigl|-180\bigr|=180\;\mathrm{kN}.

Passo 5

Para a projeção horizontal (cisalhamento no plano \vec{i}- \vec{j}), descartamos o componente z, obtendo
\vec{F}_{\text{horiz}}=(40,\,-30,\,0)\;\mathrm{kN}.
A norma é
\bigl\|\vec{F}_{\text{horiz}}\bigr\| =\sqrt{40^2+(-30)^2} =\sqrt{1600+900} =50\;\mathrm{kN}.

Passo 6

Comparamos com os limites do pilar:
  • Vertical: 180\,\mathrm{kN}>150\,\mathrm{kN} → excede a capacidade.
  • Horizontal: 50\,\mathrm{kN}\le80\,\mathrm{kN} → dentro do limite.
    Portanto, o pilar não aguentará porque a carga vertical excede o máximo especificado.

Resposta

(a) \vec{F}_R=(40,\,-30,\,-180)\,\mathrm{kN}.
(b) Norma vertical =180\,\mathrm{kN}>150\,\mathrm{kN} (falha) e norma horizontal =50\,\mathrm{kN}\le80\,\mathrm{kN} (ok), logo o pilar não suporta as condições descritas.

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