Em São Luís, a equipe de engenharia do BICT está projetando um sistema de transporte de minério dentro da área de produção. Uma das partes mais críticas do projeto envolve a análise de uma rampa inclinada por onde o minério deslizará, e a maneira como as forças atuam sobre um carrinho autônomo nesse trajeto.
O carrinho, com seu carregamento total, exerce uma força peso de \overrightarrow{\mathrm{P}}=(0,0,-500) \mathrm{kN} (onde o eixo z é vertical, com sentido positivo para cima). A rampa está orientada de tal forma que seu plano é definido por dois vetores não paralelos em sua superfície:
Vetor de direção ao longo do comprimento da rampa (para baixo): \vec{v}_{1}=(3,4,-2).
Vetor de direção ao longo da largura da rampa: \vec{v}_{2}=(-4,2,0).
A equipe precisa decompor a força peso em componentes que sảo relevantes para a movimentação do carrinho e para a integridade estrutural da rampa.
Passo 1
O enunciado pede que a força peso \overrightarrow P=(0,0,-500)\,\mathrm{kN} seja decomposta em duas partes em relação à rampa:
componente normal ao plano da rampa (importante para dimensionar o apoio estrutural)
componente tangente ao plano da rampa (que “puxa” o carrinho para baixo)
Para isso vamos:
calcular um vetor normal ao plano da rampa usando \vec v_1 e \vec v_2,
projetar \overrightarrow P sobre esse normal para obter a componente normal,
subtrair essa componente normal de \overrightarrow P para obter a componente tangente.
\hat n =\frac{\vec n}{\|\vec n\|} =\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{564}},\;\tfrac{8}{\sqrt{564}},\;\tfrac{22}{\sqrt{564}}\Bigr).
Passo 3
Projetar \overrightarrow P sobre \hat n para obter a componente normal:
P_n =\bigl(\overrightarrow P\cdot\hat n\bigr)\,\hat n =\frac{(0,0,-500)\cdot(4,8,22)}{\sqrt{564}}\;\hat n =\frac{-500\cdot22}{\sqrt{564}}\;\hat n \approx -463{,}3\;\hat n.