Em São Luís, a equipe de engenharia do BICT está projetando um sistema de transporte de minério dentro da área de produção. Uma das partes mais críticas do projeto envolve a análise de uma rampa inclinada por onde o minério deslizará, e a maneira como as forças atuam sobre um carrinho autônomo nesse trajeto.
O carrinho, com seu carregamento total, exerce uma força peso de \overrightarrow{\mathrm{P}}=(0,0,-500) \mathrm{kN} (onde o eixo z é vertical, com sentido positivo para cima). A rampa está orientada de tal forma que seu plano é definido por dois vetores não paralelos em sua superfície:
  • Vetor de direção ao longo do comprimento da rampa (para baixo): \vec{v}_{1}=(3,4,-2).
  • Vetor de direção ao longo da largura da rampa: \vec{v}_{2}=(-4,2,0).
A equipe precisa decompor a força peso em componentes que sảo relevantes para a movimentação do carrinho e para a integridade estrutural da rampa.

Passo 1

O enunciado pede que a força peso \overrightarrow P=(0,0,-500)\,\mathrm{kN} seja decomposta em duas partes em relação à rampa:
  1. componente normal ao plano da rampa (importante para dimensionar o apoio estrutural)
  2. componente tangente ao plano da rampa (que “puxa” o carrinho para baixo)
Para isso vamos:
  • calcular um vetor normal ao plano da rampa usando \vec v_1 e \vec v_2,
  • projetar \overrightarrow P sobre esse normal para obter a componente normal,
  • subtrair essa componente normal de \overrightarrow P para obter a componente tangente.

Passo 2

Calcular o vetor normal ao plano da rampa como
\vec n \;=\;\vec v_1 \times \vec v_2 \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 3 & 4 & -2\\\\ -4 & 2 & 0 \end{vmatrix} \;=\;(4,\,8,\,22).
O módulo de \vec n é
\|\vec n\| =\sqrt{4^2 + 8^2 + 22^2} =\sqrt{16 + 64 + 484} =\sqrt{564}.
O versor normal é
\hat n =\frac{\vec n}{\|\vec n\|} =\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{564}},\;\tfrac{8}{\sqrt{564}},\;\tfrac{22}{\sqrt{564}}\Bigr).

Passo 3

Projetar \overrightarrow P sobre \hat n para obter a componente normal:
P_n =\bigl(\overrightarrow P\cdot\hat n\bigr)\,\hat n =\frac{(0,0,-500)\cdot(4,8,22)}{\sqrt{564}}\;\hat n =\frac{-500\cdot22}{\sqrt{564}}\;\hat n \approx -463{,}3\;\hat n.
Substituindo \hat n,
P_n \approx -463{,}3 \Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{564}},\,\tfrac{8}{\sqrt{564}},\,\tfrac{22}{\sqrt{564}}\Bigr) \approx(-78,\,-156,\,-429)\,\mathrm{kN}.

Passo 4

A componente tangente ao plano é
P_t =\overrightarrow P - P_n =(0,0,-500)-(-78,\,-156,\,-429) =(78,\,156,\,-71)\,\mathrm{kN}.
Essa é a força resultante que “puxa” o carrinho ao longo do plano da rampa.

Resposta

Componente normal à rampa:
P_n\approx(-78,\,-156,\,-429)\,\mathrm{kN}.
Componente tangente à rampa:
P_t\approx(78,\,156,\,-71)\,\mathrm{kN}.

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