Questão 05(2,0):_Dado o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}x+3 y+2 z+3 w-7 t=14 \\\\ 2 x+6 y+z-2 w+5 t=-2 \\\ x+3 y-z+2 t=-M\end{array}\right.
(i) Resolva-o usando Operações Elementares, deixando-o à forma reduzida escada, obtendo a solução geral;
(ii) Informe p_{a}, p_{c} e número de Graus de Liberdade do sistema e assuma as variáveis livres com VALOR ZERO e discrimine a nova solução.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema linear com cinco incógnitas x,y,z,w,t\) e parâmetro \(M\): \[\begin{cases} x+3y+2z+3w-7t=14,\\[4pt] 2x+6y+z-2w+5t=-2,\\[4pt] x+3y-z+2t=-M. \end{cases}
As perguntas são:
  • (i) Resolver o sistema usando operações elementares, deixando-o na forma reduzida em escada e obter a solução geral (dependendo de M\], se for o caso). - (ii) Informar \(p_{a} (posto da matriz aumentada), p_{c} (posto da matriz de coeficientes) e o número de graus de liberdade do sistema; em seguida assumir as variáveis livres igual a zero e discriminar a nova solução obtida.]

Passo 2

Transformar o sistema em matriz aumentada. Escrevendo as colunas na ordem x,y,z,w,t e a coluna dos termos independentes, a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\[4pt] 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & -2\\[4pt] 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & -M \end{array}\right].
Breve lembrete sobre operações elementares (úteis na eliminação):
  • Trocar duas linhas.
  • Multiplicar uma linha por escalar não nulo.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema; são as ferramentas para levar a matriz a uma forma de escada reduzida.]

Passo 3

Aplicar operações para eliminar abaixo do pivô da primeira coluna. Usar a primeira linha como pivô:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Cálculo explícito:
  • R_2: [2,6,1,-2,5\mid -2]-2[1,3,2,3,-7\mid14]=[0,0,-3,-8,19\mid -30].
  • R_3: [1,3,-1,0,2\mid -M]-[1,3,2,3,-7\mid14]=[0,0,-3,-3,9\mid -M-14].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & -M-14 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora eliminar abaixo do pivô que aparece na coluna z (terceira coluna). Subtrair a segunda linha da terceira:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Cálculo:
[0,0,-3,-3,9\mid -M-14]-[0,0,-3,-8,19\mid -30]=[0,0,0,5,-10\mid 16-M].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 5 & -10 & 16-M \end{array}\right].]

Passo 5

Passar para forma reduzida: normalizar pivôs para 1 e zerar acima deles. Primeiro normalizar a linha 2 (pivot em z) e a linha 3 (pivot em w):
R_2 \leftarrow \frac{1}{-3}R_2,\qquad R_3 \leftarrow \frac{1}{5}R_3.
Cálculos:
  • R_2 fica [0,0,1,\tfrac{8}{3},-\tfrac{19}{3}\mid 10].
  • R_3 fica [0,0,0,1,-2\mid \tfrac{16-M}{5}].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{8}{3} & -\tfrac{19}{3} & 10\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \tfrac{16-M}{5} \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar as entradas nas colunas de pivô acima dos pivôs já fixados. Primeiro zerar a entrada na coluna w da linha 1 e da linha 2 usando R_3:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{8}{3}R_3.
Cálculos:
  • Para R_1:
    • coluna w: 3 - 3\cdot1 = 0.
    • coluna t: -7 - 3\cdot(-2) = -7 +6 = -1.
    • termo independente: 14 - 3\cdot\frac{16-M}{5} = \frac{70 - (48 -3M)}{5} = \frac{22+3M}{5}.
    • a linha 1 passa a ser [1,3,2,0,-1\mid \tfrac{22+3M}{5}].
  • Para R_2:
    • coluna w: \tfrac{8}{3} - \tfrac{8}{3}\cdot1 = 0.
    • coluna t: -\tfrac{19}{3} - \tfrac{8}{3}\cdot(-2) = -\tfrac{19}{3} + \tfrac{16}{3} = -\tfrac{3}{3} = -1.
    • termo independente: 10 - \tfrac{8}{3}\cdot\frac{16-M}{5} = \frac{150 - 8(16-M)}{15} = \frac{22+8M}{15}.
    • a linha 2 passa a ser [0,0,1,0,-1\mid \tfrac{22+8M}{15}].
Matriz atual:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 0 & -1 & \tfrac{22+3M}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & \tfrac{22+8M}{15}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \tfrac{16-M}{5} \end{array}\right].]

Passo 7

Zerar a entrada em z na linha 1 usando R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo:
  • coluna z: 2 - 2\cdot1 = 0.
  • coluna t: -1 - 2\cdot(-1) = -1 +2 = 1.
  • termo independente: \tfrac{22+3M}{5} - 2\cdot \tfrac{22+8M}{15} = \frac{3(22+3M)-(44+16M)}{15} = \frac{22-7M}{15}.
A linha 1 passa a ser [1,3,0,0,1\mid \tfrac{22-7M}{15}].
A matriz está agora em forma de escada reduzida (cada linha-pivô tem 1 e zeros nas demais entradas de sua coluna; colunas sem pivô correspondem a variáveis livres):
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{22-7M}{15}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & \tfrac{22+8M}{15}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \tfrac{16-M}{5} \end{array}\right].]

Passo 8

Interpretar a forma reduzida como um sistema escalonado de equações (já isolando as incógnitas pivô quando possível). As equações equivalentes são:
\begin{aligned} &x + 3y + t \;=\; \tfrac{22-7M}{15},\\[4pt] &z - t \;=\; \tfrac{22+8M}{15},\\[4pt] &w - 2t \;=\; \tfrac{16-M}{5}. \end{aligned}
Observe que as variáveis correspondentes a colunas sem pivô são y (segunda coluna) e t (quinta coluna) — portanto y e t são as variáveis livres.]

Passo 9

Escrever a solução geral em termos de parâmetros. Seja
y=\lambda,\qquad t=\mu,
com \lambda,\mu\in\mathbb{R} (parâmetros livres). Das equações obtidas:
\begin{aligned} z &= t + \tfrac{22+8M}{15} = \mu + \tfrac{22+8M}{15},\\[4pt] w &= 2t + \tfrac{16-M}{5} = 2\mu + \tfrac{16-M}{5},\\[4pt] x &= \tfrac{22-7M}{15} - 3y - t = \tfrac{22-7M}{15} - 3\lambda - \mu. \end{aligned}
Portanto a solução general pode ser escrita de forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]w\\[2pt]t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{22-7M}{15}\\[2pt]0\\[2pt]\tfrac{22+8M}{15}\\[2pt]\tfrac{16-M}{5}\\[2pt]0\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}, \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.]

Passo 10

Determinar os postos p_c e p_a e os graus de liberdade:
  • O número de pivôs (colunas com pivô) na matriz de coeficientes é 3 (pivôs nas colunas de x,z,w). Assim o posto da matriz de coeficientes é
p_{c}=3.
  • A eliminação não gerou nenhuma linha contraditória do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid \beta] com \beta\neq0; a coluna dos termos independentes não aumentou o posto. Logo o posto da matriz aumentada também é
p_{a}=3.
  • O número de incógnitas é 5. O número de graus de liberdade (dimensão do espaço das soluções paramétricas) é
\text{graus de liberdade} = 5 - p_{c} = 5 - 3 = 2,
o que concorda com termos livres \lambda e \mu.

Passo 11

Assumir as variáveis livres iguais a zero conforme pedido: y=\lambda=0 e t=\mu=0. Substituindo nas fórmulas da solução geral obtemos a solução particular:
\begin{aligned} x &= \tfrac{22-7M}{15},\\[4pt] y &= 0,\\[4pt] z &= \tfrac{22+8M}{15},\\[4pt] w &= \tfrac{16-M}{5},\\[4pt] t &= 0. \end{aligned}]

Resposta

Solução geral:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]w\\[2pt]t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{22-7M}{15}\\[2pt]0\\[2pt]\tfrac{22+8M}{15}\\[2pt]\tfrac{16-M}{5}\\[2pt]0\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}, \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
p_{c}=3
p_{a}=3
Número de graus de liberdade = 2
Solução com variáveis livres y=0 e t=0:
\left(x,y,z,w,t\right)=\left(\tfrac{22-7M}{15},\,0,\,\tfrac{22+8M}{15},\,\tfrac{16-M}{5},\,0\right).]

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