Questão 05(2,0):_Dado o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}x+3 y+2 z+3 w-7 t=14 \\\\ 2 x+6 y+z-2 w+5 t=-2 \\\ x+3 y-z+2 t=-M\end{array}\right.
(i) Resolva-o usando Operações Elementares, deixando-o à forma reduzida escada, obtendo a solução geral;
(ii) Informe p_{a}, p_{c} e número de Graus de Liberdade do sistema e assuma as variáveis livres com VALOR ZERO e discrimine a nova solução.
Passo 1
O enunciado fornece o seguinte sistema linear com cinco incógnitas x,y,z,w,t\) e parâmetro \(M\):
\[\begin{cases} x+3y+2z+3w-7t=14,\\[4pt] 2x+6y+z-2w+5t=-2,\\[4pt] x+3y-z+2t=-M. \end{cases}
As perguntas são:
(i) Resolver o sistema usando operações elementares, deixando-o na forma reduzida em escada e obter a solução geral (dependendo de M\], se for o caso).
- (ii) Informar \(p_{a} (posto da matriz aumentada), p_{c} (posto da matriz de coeficientes) e o número de graus de liberdade do sistema; em seguida assumir as variáveis livres igual a zero e discriminar a nova solução obtida.]
Passo 2
Transformar o sistema em matriz aumentada. Escrevendo as colunas na ordem x,y,z,w,t e a coluna dos termos independentes, a matriz aumentada é
Breve lembrete sobre operações elementares (úteis na eliminação):
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por escalar não nulo.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema; são as ferramentas para levar a matriz a uma forma de escada reduzida.]
Passo 3
Aplicar operações para eliminar abaixo do pivô da primeira coluna. Usar a primeira linha como pivô:
termo independente:\tfrac{22+3M}{5} - 2\cdot \tfrac{22+8M}{15} = \frac{3(22+3M)-(44+16M)}{15} = \frac{22-7M}{15}.
A linha 1 passa a ser [1,3,0,0,1\mid \tfrac{22-7M}{15}].
A matriz está agora em forma de escada reduzida (cada linha-pivô tem 1 e zeros nas demais entradas de sua coluna; colunas sem pivô correspondem a variáveis livres):
Determinar os postos p_c e p_a e os graus de liberdade:
O número de pivôs (colunas com pivô) na matriz de coeficientes é 3 (pivôs nas colunas de x,z,w). Assim o posto da matriz de coeficientes é
p_{c}=3.
A eliminação não gerou nenhuma linha contraditória do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid \beta] com \beta\neq0; a coluna dos termos independentes não aumentou o posto. Logo o posto da matriz aumentada também é
p_{a}=3.
O número de incógnitas é 5. O número de graus de liberdade (dimensão do espaço das soluções paramétricas) é
Assumir as variáveis livres iguais a zero conforme pedido: y=\lambda=0 e t=\mu=0. Substituindo nas fórmulas da solução geral obtemos a solução particular:
\begin{aligned} x &= \tfrac{22-7M}{15},\\[4pt] y &= 0,\\[4pt] z &= \tfrac{22+8M}{15},\\[4pt] w &= \tfrac{16-M}{5},\\[4pt] t &= 0. \end{aligned}]