Utilizando as propriedades de traço, mostre que não existem matrizes A e B, de ordem n, tais que A B-B A=I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem matrizes A e B, de ordem n, tais que
A B - B A = I.
Informações dadas:
  • A e B são matrizes quadradas de ordem n.
  • I é a matriz identidade de ordem n.
    O que devemos provar: é impossível encontrar tais matrizes A e B; ou seja, a igualdade acima gera uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir e entender o traço de uma matriz, porque ele será a ferramenta chave.
  • Definição: para uma matriz quadrada M=(m_{ij}) de ordem n, o traço de M é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii}.
  • Propriedades importantes do traço que vamos usar:
    1. Linearidade: para quaisquer matrizes X,Y de mesma ordem e escalar c,
    \operatorname{tr}(X+Y)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y), \qquad \operatorname{tr}(cX)=c\,\operatorname{tr}(X).
    1. Para duas matrizes quadradas A e B da mesma ordem, vale a propriedade cíclica simples
    \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).Vou provar essa última propriedade no passo seguinte de forma elementar (por coordenadas), porque é essencial e às vezes escapa quem não a viu com detalhes.

Passo 3

Prova elementar de \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).
  • Escrevendo por entradas, o elemento (i,i) da matriz AB é
(AB)_{ii}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji}.
  • Portanto o traço de AB é
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n} (AB)_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji}.
  • Trocando a ordem das somas (soma finita, permissão válida) obtemos
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} b_{ji}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n} (BA)_{jj}=\operatorname{tr}(BA).
Assim mostramos explicitamente que \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).

Passo 4

Agora aplique a função traço à equação dada AB-BA=I.
  • Usando linearidade do traço:
\operatorname{tr}(AB-BA)=\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA).
  • Pela propriedade do passo anterior \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA), logo
\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)=0.
  • Por outro lado, aplicando traço ao lado direito da igualdade:
\operatorname{tr}(I)=1+1+\cdots+1=n,
pois a identidade tem 1 em cada uma das n posições da diagonal principal.
  • Comparando, da igualdade original obteríamos
0=\operatorname{tr}(AB-BA)=\operatorname{tr}(I)=n.
Isso implica 0=n, o que é uma contradição, pois n é um inteiro positivo (ordem da matriz).

Passo 5

Conclusão lógica: a suposição de que existem matrizes A e B satisfazendo AB-BA=I leva a uma contradição ( 0=n ). Portanto não existem tais matrizes.

Resposta

Não existem matrizes A e B de ordem n tais que AB-BA=I.

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