Utilizando as propriedades de traço, mostre que não existem matrizes
e
, de ordem
, tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem matrizes
e
, de ordem
, tais que
Informações dadas:
-
e são matrizes quadradas de ordem . -
é a matriz identidade de ordem .
O que devemos provar: é impossível encontrar tais matrizese ; ou seja, a igualdade acima gera uma contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir e entender o traço de uma matriz, porque ele será a ferramenta chave.
- Definição: para uma matriz quadrada
de ordem , o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal:
- Propriedades importantes do traço que vamos usar:
- Linearidade: para quaisquer matrizes
de mesma ordem e escalar ,
- Para duas matrizes quadradas
e da mesma ordem, vale a propriedade cíclica simples
Vou provar essa última propriedade no passo seguinte de forma elementar (por coordenadas), porque é essencial e às vezes escapa quem não a viu com detalhes. - Linearidade: para quaisquer matrizes
Passo 3
Prova elementar de
.
- Escrevendo por entradas, o elemento
da matriz é
- Portanto o traço de
é
- Trocando a ordem das somas (soma finita, permissão válida) obtemos
Assim mostramos explicitamente que
.
Passo 4
Agora aplique a função traço à equação dada
.
- Usando linearidade do traço:
- Pela propriedade do passo anterior
, logo
- Por outro lado, aplicando traço ao lado direito da igualdade:
pois a identidade tem
em cada uma das
posições da diagonal principal.
- Comparando, da igualdade original obteríamos
Isso implica
, o que é uma contradição, pois
é um inteiro positivo (ordem da matriz).
Passo 5
Conclusão lógica: a suposição de que existem matrizes
e
satisfazendo
leva a uma contradição (
). Portanto não existem tais matrizes.
Resposta
Não existem matrizes
e
de ordem
tais que
.