Prove que os conjuntos U e W abaixo são subespaços vetoriais de R^4
r U=(x, y, z, t) in R^4: x+y=0 e z-t=0 W=(x, y, z, t) in R^4: 2 x+y-t=0 e z=0,
Ache um sistema de geradores para estes subespaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado nos dá dois conjuntos em R^4 definidos por equações lineares homogêneas e pede (1) provar que cada um é subespaço vetorial e (2) encontrar um sistema de geradores. O conteúdo principal é a caracterização de subespaços por fechamento e a descrição de soluções de sistemas lineares homogêneos como combinações lineares de vetores.

Passo 2

Provar que U=(x,y,z,t)inR^4: x+y=0 e z-t=0 é subespaço.
  1. O vetor nulo (0,0,0,0) satisfaz 0+0=0 e 0-0=0, logo 0in U.
  2. Se u1=(x1,y1,z1,t1) e u2=(x2,y2,z2,t2) estão em U, então x1+y1=0, z1-t1=0, x2+y2=0, z2-t2=0 Para a soma u1+u2 temos (x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)=0+0=0 e (z1+z2)-(t1+t2)=(z1-t1)+(z2-t2)=0+0=0, logo u1+u2in U.
  3. Para lambdainR e u1in U, (lambda x1)+(lambda y1)=lambda(x1+y1)=lambdacdot0=0, (lambda z1)-(lambda t1)=lambda(z1-t1)=lambdacdot0=0, logo lambdau1in U.
    Portanto U é subespaço de R^4.

Passo 3

Encontrar geradores de .
As equações dão e . Assim um vetor genérico de é
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Passo 4

Provar que W=(x,y,z,t)inR^4:2x+y-t=0 e z=0 é subespaço.
  1. 0=(0,0,0,0) satisfaz 2cdot0+0-0=0 e 0=0.
  2. Fechamento em soma e em múltiplo escalar segue do fato de serem equações lineares homogêneas, exatamente como no caso de U.
    Assim W também é subespaço de R^4.

Passo 5

Encontrar geradores de .
Das equações vem e . Então
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Resposta

Um sistema de geradores é
Como cada conjunto satisfaz as condições de subespaço (contém o vetor zero, fechado sob soma e multiplicação escalar) e foi descrito como combinação linear de dois vetores, concluímos que ambos são subespaços de com esses geradores.

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