Prove que os conjuntos
e
abaixo são subespaços vetoriais de
Ache um sistema de geradores para estes subespaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado nos dá dois conjuntos em
definidos por equações lineares homogêneas e pede (1) provar que cada um é subespaço vetorial e (2) encontrar um sistema de geradores. O conteúdo principal é a caracterização de subespaços por fechamento e a descrição de soluções de sistemas lineares homogêneos como combinações lineares de vetores.
Passo 2
Provar que
é subespaço.
- O vetor nulo
satisfaz e , logo . - Se
e estão em , então Para a soma temos e logo . - Para
e , logo .
Portantoé subespaço de .
Passo 3
Encontrar geradores de
.
As equações dão e
. Assim um vetor genérico de
é
As equações dão
Logo
Passo 4
Provar que
é subespaço.
-
satisfaz e . - Fechamento em soma e em múltiplo escalar segue do fato de serem equações lineares homogêneas, exatamente como no caso de
.
Assimtambém é subespaço de .
Passo 5
Encontrar geradores de
.
Das equações vem e
. Então
Das equações vem
Logo
Resposta
Um sistema de geradores é
Como cada conjunto satisfaz as condições de subespaço (contém o vetor zero, fechado sob soma e multiplicação escalar) e foi descrito como combinação linear de dois vetores, concluímos que ambos são subespaços de
com esses geradores.