Seja V espaço vetorial, v, v1, ldots, vn in V tal que v notin[v1, v2, ldots, vn] e v1, v2, ldots, vn L.I. Prove que v1, ldots, vn, v é L.I.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um espaço vetorial V e vetores v,v1,dots,vnin V tais que vnotin spanv1,dots,vn e o conjunto v1,dots,vn é linearmente independente. Precisamos mostrar que o conjunto v1,dots,vn,v também é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear e a hipótese sobre o span.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear trivializando o conjunto, ou seja, escalares alpha1,dots,alphan,alpha tais que
alpha1v1 + alpha2v2 + cdots + alphanvn + alpha,v = 0

Passo 3

Se alphaneq 0, podemos escrever
v = -1alphal(alpha1v1 + cdots + alphanvnr),
o que implica vin spanv1,dots,vn, em contradição com a hipótese. Logo, deve ser alpha=0.

Passo 4

Com alpha=0, a combinação do Passo 2 fica
alpha1v1 + alpha2v2 + cdots + alphanvn = 0
Como v1,dots,vn é linearmente independente, concluímos que
alpha1=alpha2=cdots=alphan=0.

Resposta

O fato de todos os coeficientes serem zero mostra que v1,dots,vn,v é linearmente independente.

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