Seja
espaço vetorial,
tal que
e
L.I. Prove que
é L.I.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um espaço vetorial
e vetores
tais que
e o conjunto
é linearmente independente. Precisamos mostrar que o conjunto
também é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear e a hipótese sobre o span.
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear trivializando o conjunto, ou seja, escalares
tais que
Passo 3
Se
, podemos escrever
o que implica
, em contradição com a hipótese. Logo, deve ser
.
Passo 4
Com
, a combinação do Passo 2 fica
Como
é linearmente independente, concluímos que
.
Resposta
O fato de todos os coeficientes serem zero mostra que
é linearmente independente.