Dê a matriz mudança de base de f1=e1-e3 para a base f2=3 e1 :
(b) f3=4 e1-3 e2

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa achar a matriz que converte coordenadas de vetores na base E = (e₁,e₂,e₃) para coordenadas na base F = (f₁,f₂,f₃). O conteúdo é mudança de base e vamos usar a ideia de que, se montamos a matriz cujas colunas são fᵢ em coordenadas de E, o inverso dessa matriz é o que converte de E para F.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever f₁,f₂,f₃ em coordenadas na base E. Como f₁ = e₁−e₃, f₂ = 3e₁ e f₃ = 4e₁−3e₂, temos:
F= 1 & 3 & 4 0 & 0 & -3 -1 & 0 & 0
Essa matriz F tem colunas correspondendo a [f₁]_E,[f₂]_E,[f₃]_E.

Passo 3

A matriz de mudança de base de E para F, que chamamos P, satisfaz [v]_F = P [v]_E. Como [v]_E = F [v]_F, segue que P = F^{-1}.

Passo 4

Para calcular F^{-1}, resolvemos F x = eᵢ para cada i=1,2,3 e obtemos as colunas de F^{-1}. Fazendo esse cálculo, encontramos:
P = F^-1 = 0 & 0 & -1 tfrac13 & tfrac49 & tfrac13 0 & -tfrac13 & 0

Resposta

A matriz de mudança de base de E para F é
P= 0 & 0 & -1 tfrac13 & tfrac49 & tfrac13 0 & -tfrac13 & 0

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