a. Mostre que num domínio a equação x^3=x tem no máximo três soluções.
b. Determine as soluções de x^3=x em Z8.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede e quais conceitos vamos usar.

Passo 2

Estamos num domínio integral, então não há divisores de zero. A equação dada é
x^3 = x
Precisamos mostrar que ela tem no máximo três soluções.

Passo 3

Primeiro transformamos a equação em uma soma que podemos fatorar. Subtraindo x de ambos os lados, obtemos
x^3 - x = 0
e aí reconhecemos uma fatoração notável:

Passo 4

A fatoração é
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)
Em um domínio integral, se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Logo as únicas possibilidades são
x = 0, x - 1 = 0 (ie x = 1), x + 1 = 0 (ie x = -1)
Isso mostra que na parte (a) há no máximo três soluções, que são exatamente 0,1,-1.

Passo 5

Agora parte (b): trabalhamos em Z8, que não é domínio integral, pois há divisores de zero. A mesma fatoração
x(x-1)(x+1) equiv 0 pmod 8
é válida, mas agora é possível que nem sempre um fator seja zero isoladamente — basta que o produto seja múltiplo de 8.

Passo 6

Para resolver em Z8 testamos os valores x=0,1,2,dots,7 ou usamos um argumento de paridade. Note que para x ímpar, os dois fatores x-1 e x+1 são pares consecutivos, garantindo um múltiplo de 8 no produto. Para x=0, obviamente 0^3-0=0. Testando rápido os pares não-nulos (2,4,6) vemos que não dão múltiplos de 8.

Passo 7

Concluímos que em Z8 a equação x^3 = x tem exatamente as soluções
x equiv 0,1,3,5,7 pmod 8

Resposta

a) Em um domínio integral as soluções são apenas 0, 1 e –1, logo no máximo três.
b) Em Z8 as soluções são xequiv0,1,3,5,7.

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