a. Mostre que num domínio a equação
tem no máximo três soluções.
b. Determine as soluções de
em
.
b. Determine as soluções de
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede e quais conceitos vamos usar.
Passo 2
Estamos num domínio integral, então não há divisores de zero. A equação dada é
Precisamos mostrar que ela tem no máximo três soluções.
Passo 3
Primeiro transformamos a equação em uma soma que podemos fatorar. Subtraindo
de ambos os lados, obtemos
e aí reconhecemos uma fatoração notável:
Passo 4
A fatoração é
Em um domínio integral, se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Logo as únicas possibilidades são
Isso mostra que na parte (a) há no máximo três soluções, que são exatamente
.
Passo 5
Agora parte (b): trabalhamos em
, que não é domínio integral, pois há divisores de zero. A mesma fatoração
é válida, mas agora é possível que nem sempre um fator seja zero isoladamente — basta que o produto seja múltiplo de 8.
Passo 6
Para resolver em
testamos os valores
ou usamos um argumento de paridade. Note que para
ímpar, os dois fatores
e
são pares consecutivos, garantindo um múltiplo de 8 no produto. Para
, obviamente
. Testando rápido os pares não-nulos (2,4,6) vemos que não dão múltiplos de 8.
Passo 7
Concluímos que em
a equação
tem exatamente as soluções
Resposta
a) Em um domínio integral as soluções são apenas 0, 1 e –1, logo no máximo três.
b) Em as soluções são
.
b) Em