Mostre que
; e que
.
Passo 1
Resumo: Queremos demonstrar duas propriedades envolvendo o produto escalar e normas de vetores em ℝⁿ. Primeiro, mostrar que
. Depois, usar essa identidade para provar que
se, e somente se,
. Vamos precisar das propriedades bilineares do produto escalar e da relação entre norma e produto escalar.
Passo 2
Expandindo as normas, temos:
Essas expressões vêm da bilinearidade e simetria do produto escalar.
Passo 3
Subtraindo as duas igualdades, os termos
se cancelam:
Logo segue a identidade desejada:
Passo 4
Para a equivalência, observe que
implica que o lado direito da identidade é zero, ou seja
Tirando raiz não negativa em ambos os lados, temos
Reciprocamente, se as normas são iguais, então suas quadraturas também, o que força
Passo 5
Assim completamos a prova de ambas as propriedades pedidas.
Resposta
Foi mostrado que
e que dessa identidade decorre