Mostre que u cdot v=0 Leftrightarrow|u+v|=|u-v|; e que .

Passo 1

Resumo: Queremos demonstrar duas propriedades envolvendo o produto escalar e normas de vetores em ℝⁿ. Primeiro, mostrar que vec ucdotvec v=tfrac14l(|vec u+vec v|^2-|vec u-vec v|^2r). Depois, usar essa identidade para provar que vec ucdotvec v=0 se, e somente se, |vec u+vec v|=|vec u-vec v|. Vamos precisar das propriedades bilineares do produto escalar e da relação entre norma e produto escalar.

Passo 2

Expandindo as normas, temos:
|vec u+vec v|^2=(vec u+vec v)cdot(vec u+vec v)=|vec u|^2+2,vec ucdotvec v+|vec v|^2,
|vec u-vec v|^2=(vec u-vec v)cdot(vec u-vec v)=|vec u|^2-2,vec ucdotvec v+|vec v|^2
Essas expressões vêm da bilinearidade e simetria do produto escalar.

Passo 3

Subtraindo as duas igualdades, os termos |vec u|^2+|vec v|^2 se cancelam:
|vec u+vec v|^2-|vec u-vec v|^2=(|vec u|^2+2,vec ucdotvec v+|vec v|^2)-(|vec u|^2-2,vec ucdotvec v+|vec v|^2)=4,vec ucdotvec v
Logo segue a identidade desejada:
vec ucdotvec v=14l(|vec u+vec v|^2-|vec u-vec v|^2r)

Passo 4

Para a equivalência, observe que vec ucdotvec v=0 implica que o lado direito da identidade é zero, ou seja
|vec u+vec v|^2-|vec u-vec v|^2=0Longrightarrow|vec u+vec v|^2=|vec u-vec v|^2
Tirando raiz não negativa em ambos os lados, temos |vec u+vec v|=|vec u-vec v|.
Reciprocamente, se as normas são iguais, então suas quadraturas também, o que força vec ucdotvec v=0 pela identidade anterior.

Passo 5

Assim completamos a prova de ambas as propriedades pedidas.

Resposta

Foi mostrado que
vec ucdotvec v=14l(|vec u+vec v|^2-|vec u-vec v|^2r)
e que dessa identidade decorre
vec ucdotvec v=0Long<=ftrightarrow|vec u+vec v|=|vec u-vec v|

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