Mostre que det \left(\begin{array}{lll}1 & a & b c \\\\ 1 & b & a c \\\\ 1 & c & a b\end{array}\right)=(b-a)(c-a)(c-b).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & a & b c\\[4pt] 1 & b & a c\\[4pt] 1 & c & a b \end{pmatrix}.
  • Pede-se mostrar que o determinante dessa matriz é igual a
(b-a)(c-a)(c-b).
Ou seja, precisamos calcular \det(A) e provar a igualdade acima.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre propriedades de determinantes que vamos usar (explicado com calma):
  • Subtrair uma linha de outra linha não altera o valor do determinante. Em símbolos: se R_i é uma linha, substituir R_j por R_j-R_i deixa \det igual.
  • Se uma coluna (ou linha) tem zeros exceto um elemento, é conveniente expandir o determinante por essa coluna (ou linha) — o determinante reduz para o menor correspondente multiplicado pelo elemento não nulo.
  • O determinante de uma matriz 2\times2 é \begin{vmatrix}x & y\\\ z & w\end{vmatrix}=xw-yz.
Essas regras permitem simplificar a matriz antes de fazer contas pesadas.

Passo 3

Aplicar operações de linha para criar zeros na primeira coluna (sem alterar o determinante):
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Pelo item anterior, \det permanece o mesmo.
    A matriz resultante é
\begin{pmatrix} 1 & a & b c\\[4pt] 0 & b-a & a c - b c\\[4pt] 0 & c-a & a b - b c \end{pmatrix}.
Podemos simplificar as entradas do terceiro coluna das duas últimas linhas fatorando:
a c - b c = c(a-b),\qquad a b - b c = b(a-c).
Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & a & b c\\[4pt] 0 & b-a & c(a-b)\\[4pt] 0 & c-a & b(a-c) \end{pmatrix}.]

Passo 4

Expandir o determinante por cofactores ao longo da primeira coluna (já que há dois zeros):
\det(A)=1\cdot \begin{vmatrix} b-a & c(a-b)\\[4pt] c-a & b(a-c) \end{vmatrix}.
Portanto basta calcular o determinante 2\times2 acima.]

Passo 5

Calcular o determinante 2\times2 e simplificar passo a passo:
\begin{aligned} \det(A) &= (b-a)\cdot b(a-c) - c(a-b)\cdot (c-a). \end{aligned}
Agora uso a-b=-(b-a) para simplificar o segundo termo:
\begin{aligned} \det(A) &= b(b-a)(a-c) - c\bigl(-(b-a)\bigr)(c-a)\\[4pt] &= (b-a)\bigl[\,b(a-c) + c(c-a)\bigr]. \end{aligned}
Desenvolvendo o colchete:
b(a-c)+c(c-a)=ab-bc+c^2-ac.
Observe que isso é exatamente a expansão de (c-a)(c-b), pois
(c-a)(c-b)=c^2-cb-ac+ab=ab-bc+c^2-ac.
Portanto
\det(A)=(b-a)\bigl[(c-a)(c-b)\bigr].]

Passo 6

Concluir escrevendo o produto na ordem pedida:
\det(A)=(b-a)(c-a)(c-b).

Resposta

\det\left(\begin{array}{lll}1 & a & b c \\[4pt] 1 & b & a c \\[4pt] 1 & c & a b\end{array}\right)=(b-a)(c-a)(c-b)]

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