Mostre que det \left(\begin{array}{lll}1 & a & b c \\\\ 1 & b & a c \\\\ 1 & c & a b\end{array}\right)=(b-a)(c-a)(c-b).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
É dada a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & a & b c\\[4pt] 1 & b & a c\\[4pt] 1 & c & a b \end{pmatrix}.
Pede-se mostrar que o determinante dessa matriz é igual a
(b-a)(c-a)(c-b).
Ou seja, precisamos calcular \det(A) e provar a igualdade acima.]
Passo 2
Lembrete rápido sobre propriedades de determinantes que vamos usar (explicado com calma):
Subtrair uma linha de outra linha não altera o valor do determinante. Em símbolos: se R_i é uma linha, substituir R_j por R_j-R_i deixa \det igual.
Se uma coluna (ou linha) tem zeros exceto um elemento, é conveniente expandir o determinante por essa coluna (ou linha) — o determinante reduz para o menor correspondente multiplicado pelo elemento não nulo.
O determinante de uma matriz 2\times2 é \begin{vmatrix}x & y\\\ z & w\end{vmatrix}=xw-yz.
Essas regras permitem simplificar a matriz antes de fazer contas pesadas.
Passo 3
Aplicar operações de linha para criar zeros na primeira coluna (sem alterar o determinante):
Faço R_2 \leftarrow R_2 - R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Pelo item anterior, \det permanece o mesmo.
A matriz resultante é
\begin{pmatrix} 1 & a & b c\\[4pt] 0 & b-a & a c - b c\\[4pt] 0 & c-a & a b - b c \end{pmatrix}.
Podemos simplificar as entradas do terceiro coluna das duas últimas linhas fatorando:
a c - b c = c(a-b),\qquad a b - b c = b(a-c).
Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & a & b c\\[4pt] 0 & b-a & c(a-b)\\[4pt] 0 & c-a & b(a-c) \end{pmatrix}.]
Passo 4
Expandir o determinante por cofactores ao longo da primeira coluna (já que há dois zeros):