Se A é uma matriz n times n e tem inversa à esquerda (ou seja, existe uma matriz C tal que C A=I d ), por que A é inversível?

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n e que existe uma matriz C tal que
C A = In
O conteúdo principal aqui é o uso da propriedade do determinante em matrizes quadradas para concluir a invertibilidade de A.

Passo 2

Vamos calcular o determinante do produto C A. Pelas propriedades do determinante, temos
det(CA)=det(C),det(A)
Mas como CA=In,
det(CA)=det(In)=1
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det(C),det(A)=1 Longrightarrow det(A)neq0

Passo 3

Um teorema básico de álgebra linear diz que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det(A)neq0. Como acabamos de ver que det(A)neq0, concluímos que A é invertível. Ademais, a própria C que satisfazia C A=In passa a ser o inverso à direita também, ou seja,
A,C = In

Resposta

A matriz A é invertível porque do fato C A=In segue det(A)neq0, e então vale tanto C A=In quanto A C=In, mostrando que C=A^-1.

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