Se
é uma matriz
e tem inversa à esquerda (ou seja, existe uma matriz
tal que
), por que
é inversível?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
e que existe uma matriz
tal que
O conteúdo principal aqui é o uso da propriedade do determinante em matrizes quadradas para concluir a invertibilidade de
.
Passo 2
Vamos calcular o determinante do produto
. Pelas propriedades do determinante, temos
Mas como
,
Logo
Passo 3
Um teorema básico de álgebra linear diz que uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se,
. Como acabamos de ver que
, concluímos que
é invertível. Ademais, a própria
que satisfazia
passa a ser o inverso à direita também, ou seja,
Resposta
A matriz
é invertível porque do fato
segue
, e então vale tanto
quanto
, mostrando que
.