Para uma matriz A com o polinômio característico f(x) dado e um número alpha dado, descobra se alpha é um autovalor de A, ou seja, uma raiz de f(x).

Passo 1

O enunciado fornece o polinômio característico f(x) de uma matriz A e um valor alpha. Queremos decidir se alpha é um autovalor de A, isto é, se alpha é raiz de f(x).

Passo 2

Recordando a definição de autovalor, alpha é autovalor de A se, e somente se,
detl(A - alpha Ir)=0
Mas por definição o polinômio característico é
f(x)=detl(A - xIr),
logo alpha é autovalor de A sse
f(alpha)=0

Passo 3

Para verificar na prática, basta substituir o valor alpha em f(x). Ou seja, calcular
f(alpha)

Passo 4

Analisar o resultado de f(alpha):
  • Se f(alpha)=0, então alpha é raiz de f e, portanto, autovalor de A.
  • Se f(alpha)neq0, então alpha não é raiz de f e não é autovalor de A.

Resposta

alpha é autovalor de A se, e somente se, f(alpha)=0.

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