Transforme uma base dada de um subespaço para uma base ortogonal e depois para uma base ortonormal deste subespaço usando o processo de ortogonalizaçao de Gram-Schmidt. Encontre a projeção de um vetor num subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar uma base de um subespaço em uma base ortogonal e depois em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Depois, precisamos encontrar a projeção de um vetor nesse subespaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que são bases ortogonal e ortonormal, e como o método de Gram-Schmidt funciona para fazer essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Por exemplo, se temos dois vetores no plano, eles formam uma base se não forem colineares.

Passo 3

Agora, uma base ortogonal é uma base em que todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero: ui cdot uj = 0 para i neq j.

Passo 4

Para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal, usamos o processo de Gram-Schmidt. Esse método pega cada vetor da base original e o ajusta para que seja perpendicular aos vetores já processados.

Passo 5

Vamos supor que nossa base original seja v1, v2, dots, vn. O primeiro passo do Gram-Schmidt é definir u1 = v1.

Passo 6

Em seguida, para cada vetor vk com k >= 2, subtraímos suas projeções sobre todos os vetores u1, u2, dots, uk-1 para torná-lo perpendicular a eles:
uk = vk - sumi=1^k-1 projui vk
Onde projui vk = vk cdot uiui cdot ui ui.

Passo 7

Depois de obter a base ortogonal u1, u2, dots, un, podemos transformá-la em uma base ortonormal dividindo cada vetor pelo seu comprimento (norma):
ei = ui|ui|
Assim, cada ei terá norma 1 e continuará sendo perpendicular aos demais vetores da base.

Passo 8

Com a base ortonormal e1, e2, dots, en, encontrar a projeção de um vetor v nesse subespaço fica mais fácil. A fórmula da projeção é:
projS v = sumi=1^n (v cdot ei) ei
Isso significa que multiplicamos cada vetor da base ortonormal pelo produto interno com v e somamos todos esses resultados.

Resposta

Seguindo esses passos, transformamos a base original em uma base ortogonal e depois em uma base ortonormal usando Gram-Schmidt. Finalmente, calculamos a projeção do vetor v no subespaço utilizando a base ortonormal obtida:
projS v = sumi=1^n (v cdot ei) ei

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