Transforme uma base dada de um subespaço para uma base ortogonal e depois para uma base ortonormal deste subespaço usando o processo de ortogonalizaçao de Gram-Schmidt. Encontre a projeção de um vetor num subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar uma base de um subespaço em uma base ortogonal e depois em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Depois, precisamos encontrar a projeção de um vetor nesse subespaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que são bases ortogonal e ortonormal, e como o método de Gram-Schmidt funciona para fazer essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Por exemplo, se temos dois vetores no plano, eles formam uma base se não forem colineares.
Passo 3
Agora, uma base ortogonal é uma base em que todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero:
para
.
Passo 4
Para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal, usamos o processo de Gram-Schmidt. Esse método pega cada vetor da base original e o ajusta para que seja perpendicular aos vetores já processados.
Passo 5
Vamos supor que nossa base original seja
. O primeiro passo do Gram-Schmidt é definir
.
Passo 6
Em seguida, para cada vetor
com
, subtraímos suas projeções sobre todos os vetores
para torná-lo perpendicular a eles:
Onde
.
Passo 7
Depois de obter a base ortogonal
, podemos transformá-la em uma base ortonormal dividindo cada vetor pelo seu comprimento (norma):
Assim, cada
terá norma 1 e continuará sendo perpendicular aos demais vetores da base.
Passo 8
Com a base ortonormal
, encontrar a projeção de um vetor
nesse subespaço fica mais fácil. A fórmula da projeção é:
Isso significa que multiplicamos cada vetor da base ortonormal pelo produto interno com
e somamos todos esses resultados.
Resposta
Seguindo esses passos, transformamos a base original em uma base ortogonal e depois em uma base ortonormal usando Gram-Schmidt. Finalmente, calculamos a projeção do vetor
no subespaço utilizando a base ortonormal obtida: