Para uma matriz A tal que A=P D P^-1 onde D é uma matriz diagonal e P é uma matriz invertível, ache A^4, A^2022, A^n.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz ,AinR^mtimes m (ou C^mtimes m) que é diagonalizável, isto é,
A = P,D,P^-1,
onde P é invertível e D é diagonal. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de potências de matrizes diagonalizáveis: ao elevar A a uma potência inteira, basta elevar a matriz diagonal D àquela potência.

Passo 2

Mostramos a propriedade geral. Se
A = P,D,P^-1,
então, para qualquer inteiro k>=1,
A^k = (P,D,P^-1)^k = P,D^k,P^-1
Essa igualdade vale porque os fatores P e P^-1 se cancelam em cadeia:
(PD P^-1)(PD P^-1)cdots(PD P^-1) = P,l(DP^-1Pr),Dcdots P^-1 = P,D^k,P^-1

Passo 3

Agora, como D é diagonal, digamos
D = diag(lambda1,lambda2,dots,lambdam),
então
D^k = diagl(lambda1^k,lambda2^k,dots,lambdam^kr)
Ou seja, levantar D à potência k equivale a elevar cada entrada diagonal.

Passo 4

Basta aplicar a fórmula geral para os casos pedidos:
  • Para k=4,
A^4 = P,D^4,P^-1
  • Para k=2022,
A^2022 = P,D^2022,P^-1
  • Para um inteiro genérico n,
A^n = P,D^n,P^-1

Resposta

A^4 = P,D^4,P^-1, A^2022 = P,D^2022,P^-1, A^n = P,D^n,P^-1

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