Para uma matriz
tal que
onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz invertível, ache
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
(ou
) que é diagonalizável, isto é,
onde
é invertível e
é diagonal. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de potências de matrizes diagonalizáveis: ao elevar
a uma potência inteira, basta elevar a matriz diagonal
àquela potência.
Passo 2
Mostramos a propriedade geral. Se
então, para qualquer inteiro
,
Essa igualdade vale porque os fatores
e
se cancelam em cadeia:
Passo 3
Agora, como
é diagonal, digamos
então
Ou seja, levantar
à potência
equivale a elevar cada entrada diagonal.
Passo 4
Basta aplicar a fórmula geral para os casos pedidos:
- Para
,
- Para
,
- Para um inteiro genérico
,