Uma matriz quadrada
é chamada ortogonal se
, ou equivalentemente
.
Prove que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
Prove que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
Passo 1
O enunciado define que uma matriz quadrada
é ortogonal se
Queremos mostrar que, se
e
são ortogonais, então o produto
também satisfaz
, ou equivalentemente
Passo 2
Lembramos a propriedade de transposta de produto de matrizes: para quaisquer matrizes compatíveis
e
,
Passo 3
Como
e
são ortogonais, temos
Agora calculamos
Passo 4
Em igual sentido,
Logo,
.
Resposta
Portanto, o produto de duas matrizes ortogonais
e
é novamente uma matriz ortogonal.