Uma matriz quadrada A é chamada ortogonal se A^-1=A^t, ou equivalentemente A A^t=A^t A=In.
Prove que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado define que uma matriz quadrada A é ortogonal se
A^-1=A^t Long<=ftrightarrow A,A^t=A^t,A=In
Queremos mostrar que, se O e P são ortogonais, então o produto O,P também satisfaz (O,P)^-1=(O,P)^t, ou equivalentemente
(O,P),(O,P)^t= (O,P)^t(O,P)=In

Passo 2

Lembramos a propriedade de transposta de produto de matrizes: para quaisquer matrizes compatíveis X e Y,
(X,Y)^t = Y^t,X^t

Passo 3

Como O e P são ortogonais, temos
O^tO = In e P^tP = In
Agora calculamos
(O,P)^t(O,P) = P^t,O^t,O,P = P^t,In,P = P^t,P = In

Passo 4

Em igual sentido,
(O,P),(O,P)^t = O,P,P^t,O^t = O,In,O^t = O,O^t = In
Logo, (O,P),(O,P)^t=(O,P)^t(O,P)=In.

Resposta

Portanto, o produto de duas matrizes ortogonais O e P é novamente uma matriz ortogonal.

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