Sejam vértices de um polígono regular de lados no plano centrado no ponto . Mostre que:

Passo 1

O enunciado diz que A1,A2,dots,An são os vértices de um polígono regular de n lados com centro em P, e pede para mostrar que a soma dos vetores PAk é o vetor nulo. Vamos usar a noção de soma de vetores no plano, representando-os em coordenadas polares (ou em forma de números complexos), e explorar o fato de que os ângulos entre vetores consecutivos são iguais.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que P seja a origem. Seja r a distância comum de P a cada vértice, isto é, r=PAk para todo k. Como o polígono é regular, os ângulos polares dos vértices diferem de 2pi/n. Escrevemos cada vetor em forma exponencial:
PAk = rl(costhetak,i+sinthetak,jr) = r,e^ithetak,
onde thetak=theta1+(k-1),tfrac2pin.

Passo 3

Agora somamos todos esses vetores:
sumk=1^nPAk = rsumk=1^ne^ithetak = rsumk=1^ne^il(theta1+(k-1)tfrac2pinr) = r,e^itheta1sumk=1^nl(e^i2pi/nr)^k-1

Passo 4

A soma dentro do último produto é uma série geométrica de razão q=e^i2pi/nneq1 e com n termos:
sumk=0^n-1q^k =1-q^n1-q =1-e^i2pi1-e^i2pi/n =1-11-e^i2pi/n =0
Logo
sumk=1^ne^ithetak = e^itheta1cdot 0 =0,
e portanto
sumk=1^nPAk = rcdot 0 =0

Resposta

PA1+PA2+cdots+PAn=0

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