Represente graficamente a seguinte região do espaço:
F=(x, y, z) mid x+y=0

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente em R^3 o conjunto
F=(x,y,z)mid x+y=0
O conteúdo é geometria analítica de três dimensões: reconhecer que essa equação define um plano, achar seu vetor normal e sua parametrização para visualizar a posição e a direção desse plano.

Passo 2

A equação cartesiana do plano é
x + y = 0
O vetor normal a esse plano é dado pelo gradiente da expressão à esquerda, ou seja
n = (1,1,0)
Isso mostra que o plano é perpendicular a n e, portanto, “inclinado” em 45^circ em relação aos eixos x e y, mas é paralelo ao eixo z.

Passo 3

Para descrever o plano, escolhemos dois vetores diretores que sejam ortogonais a n, por exemplo
u = (1,-1,0), v = (0,0,1)
Com isso, uma forma paramétrica do plano é
(x,y,z) = s,(1,-1,0) ;+; t,(0,0,1),
onde s,tinR. Note que quando t varia, nos movemos paralelamente ao eixo z, e quando s varia, seguimos a reta de interseção com o plano z=0, que é y=-x.

Passo 4

Graficamente, esse plano passa pela reta y=-x no plano z=0 e se estende para todo valor de z. É um plano vertical que contém o eixo z e forma um ângulo de 45^circ com o eixo x (e também com o eixo y), podendo ser desenhado como uma folha infinita “em pé” cortando o plano xy ao longo da reta y=-x.

Resposta

O conjunto F é o plano de equação x+y=0, perpendicular a (1,1,0), que intercepta o plano xy na reta y=-x e é paralelo ao eixo z.

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