Mostre que as matrizes abaixo são invertíveis e calcule a sua inversa.
A=[ccc1 & 1 & 1 3 & 5 & 4 -2 & -1 & -2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A=1 &1 &13 &5 &4-2 &-1 &-2
é invertível e em seguida calcular A^-1. Vamos usar álgebra linear de nível superior, mais precisamente método de Gauss–Jordan para inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, verificamos a invertibilidade calculando o determinante de A. Usamos a regra de Sarrus ou Laplace. Por Laplace na primeira linha:
det(A)=1l(5cdot(-2)-4cdot(-1)r)-1l(3cdot(-2)-4cdot(-2)r)+1l(3cdot(-1)-5cdot(-2)r)
Calculando cada termo:
1l(-10+4r)-1l(-6+8r)+1l(-3+10r)=-6-2+7=-1neq0
Como det(A)=-1, a matriz é invertível.

Passo 3

Para achar A^-1 montamos a matriz aumentada [Amid I]:
[ccc|ccc 1 &1 &1 &1 &0 &0 3 &5 &4 &0 &1 &0 -2 &-1 &-2 &0 &0 &1 ]
Depois aplicamos operações de linha para reduzir à forma [Imid A^-1].

Passo 4

Aplicamos primeiro:
R2→R2−3R1 e R3→R3+2R1 para zerar a coluna 1 em R2 e R3:
[ccc|ccc 1 &1 &1 &1 &0 &0 0 &2 &1 &-3 &1 &0 0 &1 &0 &2 &0 &1 ]

Passo 5

Em seguida, dividimos R2 por 2 para ter pivô 1 e usamos R2 para zerar a coluna 2:
R2→R2/2 dá R2=(0 1 0.5 | −1.5 0.5 0). Depois:
R1→R1−R2 e R3→R3−R2 resultando em
[ccc|ccc 1 &0 &0.5 &2.5 &-0.5 &0 0 &1 &0.5 &-1.5 &0.5 &0 0 &0 &-0.5 &3.5 &-0.5 &1 ]

Passo 6

Por fim, dividimos R3 por −0.5 (pivot na coluna 3) e eliminamos as colunas acima:
R3→R3/(−0.5) ⇒ R3=(0 0 1 | −7 1 −2). Depois:
R1→R1−0.5R3 e R2→R2−0.5R3, chegando a
[ccc|ccc 1 &0 &0 &6 &-1 &1 0 &1 &0 &2 &0 &1 0 &0 &1 &-7 &1 &-2 ]

Passo 7

Agora estamos em forma [Imid A^-1], logo extraímos
A^-1=6 &-1 &12 &0 &1-7 &1 &-2

Resposta

A^-1=6 &-1 &12 &0 &1-7 &1 &-2

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