Para uma matriz quadrada A sabe-se que det(A)=2 e que
A^-1=[rrr 1 & 2 & 2 0 & -1 & a -1 & 2 & -1 ]
Calcule o valor da constante a.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A com det(A)=2 e fornece sua inversa
A^-1= 1 & 2 & 2 0 & -1 & a -1 & 2 & -1
O conteúdo aqui é propriedade de determinantes de matrizes inversas: vamos usar
det(A^-1) = 1det(A)

Passo 2

Pela propriedade,
det(A^-1) = 1det(A) = 12

Passo 3

Calculemos det(A^-1) em função de a. Para
A^-1= 1 & 2 & 2 0 & -1 & a -1 & 2 & -1 ,
fazemos a expansão pela primeira linha:
det(A^-1) =1cdotl((-1)(-1)-acdot2r) -2cdotl(0cdot(-1)-acdot(-1)r) +2cdotl(0cdot2-(-1)cdot(-1)r)
Isso dá
det(A^-1) =1cdot(1-2a)-2cdot(a)+2cdot(-1) =1-2a-2a-2 =-4a-1

Passo 4

Como sabemos que det(A^-1) vale tfrac12, igualamos:
-4a-1 = 12 Longrightarrow -4a = 32 Longrightarrow a = -38

Resposta

a = -38

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