Utilizando operações elementares em linhas, transforme cada uma das seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.
A=[rrrr 3 & 1 & 0 & -2 0 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & -1 & 2 1 & 2 & 1 & -7 ] B=[rrrr 0 & 1 & -1 & 2 1 & 3 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 3 4 & -2 & 1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede para obtermos as matrizes triangulares superiores associadas a
A= 3 & 1 & 0 & -2 0 & 2 & -4 & 0 1 & 0 & -1 & 2 1 & 2 & 1 & -7 e B= 0 & 1 & -1 & 2 1 & 3 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 3 4 & -2 & 1 & 2
por meio de operações elementares de linha, e então calcular seus determinantes.
Precisamos usar as propriedades do determinante:
– trocar duas linhas inverte o sinal do determinante;
– somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante;
– multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar.
No final, para cada matriz triangular obtida, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal, ajustado pelos fatores e sinais das operações.

Passo 2

Redução de A a triangular superior:
1. Elimino as entradas abaixo de a11=3 usando
R3to R3-tfrac13R1 e
R4to R4-tfrac13R1.
2. Com o pivô 2 em posição (2,2), faço
R3to R3-l(-tfrac13/2r)R2 e
R4to R4-l(tfrac53/2r)R2.
3. Com o pivô -tfrac53 em (3,3), faço
R4to R4-l(tfrac133/(-tfrac53)r)R3.
Não houve trocas de linha nem escalonamentos, só somas de múltiplos, então o determinante não muda.
O resultado é
TA= 3 & 1 & 0 & -2 0 & 2 & -4 & 0 0 & 0 & -tfrac53 & tfrac83 0 & 0 & 0 & tfrac35

Passo 3

Como não alteramos o determinante durante as somas de múltiplos de linha, temos
det(A)=3cdot2cdotl(-tfrac53r)cdotl(tfrac35r) =3times2timesl(-tfrac53r)timesl(tfrac35r) =-6

Passo 4

Redução de B a triangular superior:
1. Troco R1rightarrowR2 (isso muda o sinal do determinante).
2. Com o pivô 1 em (1,1), elimino abaixo via
R3toR3-2,R1 e
R4toR4-4,R1.
3. Com o pivô 1 em (2,2), faço
R3toR3-(-6),R2,
R4toR4-(-14),R2.
4. Com o pivô -8 em (3,3), faço
R4toR4-l(tfrac-17-8r)R3.
Só houve uma troca de linhas; as demais são somas de múltiplos. O resultado é
TB= 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -8 & 15 0 & 0 & 0 & -tfrac158

Passo 5

O único ajuste no determinante de B foi a troca de linhas (sinal -1). Assim
det(B)=-1cdotl(1cdot1cdot(-8)cdot(-tfrac158)r) =-1cdot(+15) =-15

Resposta

det(A)=-6 det(B)=-15

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