Utilizando operações elementares em linhas, transforme cada uma das seguintes matrizes em uma matriz triangular superior. Em seguida, utilizando estas matrizes triangulares, calcule os determinantes das matrizes dadas.
Passo 1
O enunciado pede para obtermos as matrizes triangulares superiores associadas a
por meio de operações elementares de linha, e então calcular seus determinantes.
Precisamos usar as propriedades do determinante:
– trocar duas linhas inverte o sinal do determinante;
– somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante;
– multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar.
No final, para cada matriz triangular obtida, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal, ajustado pelos fatores e sinais das operações.
Passo 2
Redução de A a triangular superior: 1. Elimino as entradas abaixo de a11=3 usando R3to R3-tfrac13R1 e R4to R4-tfrac13R1. 2. Com o pivô 2 em posição (2,2), faço R3to R3-l(-tfrac13/2r)R2 e R4to R4-l(tfrac53/2r)R2. 3. Com o pivô -tfrac53 em (3,3), faço R4to R4-l(tfrac133/(-tfrac53)r)R3.
Não houve trocas de linha nem escalonamentos, só somas de múltiplos, então o determinante não muda.
O resultado é
Redução de B a triangular superior: 1. Troco R1rightarrowR2 (isso muda o sinal do determinante). 2. Com o pivô 1 em (1,1), elimino abaixo via R3toR3-2,R1 e R4toR4-4,R1. 3. Com o pivô 1 em (2,2), faço R3toR3-(-6),R2, R4toR4-(-14),R2. 4. Com o pivô -8 em (3,3), faço R4toR4-l(tfrac-17-8r)R3.
Só houve uma troca de linhas; as demais são somas de múltiplos. O resultado é