Suponha que a matriz
B=[rrrr 1 & 0 & 0 & 0 2 & -3 & 0 & 0 -2 & 1 & -1 & 0 3 & 5 & 8 & -2 ]
tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares:
(a) Troca da linha L3 com a linha L4;
(b) Substituição da linha L2 por L2-3 L1;
(c) Substituição da linha L3 por 12 L3.
Calcule o determinante da matriz A.

Passo 1

O enunciado diz que a matriz B foi obtida a partir de A aplicando-se, sucessivamente, três operações elementares sobre linhas:
(a) troca de L3 com L4,
(b) substituição de L2 por L2-3L1,
(c) substituição de L3 por tfrac12L3.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de como cada operação afeta o determinante: troca de linhas muda o sinal, soma múltiplo de outra linha não altera, e escala de linha multiplica o determinante pelo fator de escala.

Passo 2

Chamando de E1,E2,E3 as matrizes elementares correspondentes às operações (a),(b),(c), temos
B = E3,E2,E1,A
e, portanto,
det(B) = det(E3),det(E2),det(E1),det(A)
Agora,
det(E1)=-1 (troca de duas linhas),
det(E2)=1 (adição de múltiplo de linha não altera),
det(E3)=tfrac12 (multiplicação de uma linha por tfrac12).

Passo 3

A matriz
B = 1 & 0 & 0 & 0 2 & -3 & 0 & 0 -2 & 1 & -1 & 0 3 & 5 & 8 & -2
é triangular inferior, logo
det(B) = 1 cdot (-3) cdot (-1) cdot (-2) = -6

Passo 4

Da relação
det(B) = l(-1r)cdot1cdot12;det(A) ;=; -tfrac12,det(A),
temos
-!6 = -tfrac12,det(A) Longrightarrow det(A) = -6-tfrac12 = 12

Resposta

det(A)=12

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