tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares:
(a) Troca da linha L3 com a linha L4;
(b) Substituição da linha L2 por L2-3 L1;
(c) Substituição da linha L3 por 12 L3.
Calcule o determinante da matriz A.
Passo 1
O enunciado diz que a matriz B foi obtida a partir de A aplicando-se, sucessivamente, três operações elementares sobre linhas:
(a) troca de L3 com L4,
(b) substituição de L2 por L2-3L1,
(c) substituição de L3 por tfrac12L3.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de como cada operação afeta o determinante: troca de linhas muda o sinal, soma múltiplo de outra linha não altera, e escala de linha multiplica o determinante pelo fator de escala.
Passo 2
Chamando de E1,E2,E3 as matrizes elementares correspondentes às operações (a),(b),(c), temos
B = E3,E2,E1,A
e, portanto,
det(B) = det(E3),det(E2),det(E1),det(A)
Agora, det(E1)=-1 (troca de duas linhas), det(E2)=1 (adição de múltiplo de linha não altera), det(E3)=tfrac12 (multiplicação de uma linha por tfrac12).