A matriz que representa corretamente a sequência
Rotaçăo de 60^circ, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y.
[cc-raiz32 & 12 12 & raiz32]
21. Sabendo que o operador inversivel [T]^-1 tem a propriedade de [T][T]^-1=[I d]. Então o operador inverso de
T(x, y)=(3 x-y,-2 x+y) é?
a) T^-1(x, y)=(15 x-15 y, 25 x+35 y)
b) T^-1(x, y)=(15 x+25 y,-15 x+35 y)
c) T^-1(x, y)=(x+y, 2 x+3 y)
d) T^-1(x, y)=(x+2 y, x+3 y)
e) T^-1(x, y)=(3 x+y, 2 x-y)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear inversível
T(x,y) = (3x - y,,-2x + y)
e pede para encontrar seu inverso T^-1. O conteúdo aqui é álgebra matricial: representar T por uma matriz 2times2, verificar sua invertibilidade e usar a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

A matriz de T em relação à base canônica é
A = 3 & -1[-6pt]-2 & 1
Calculamos o determinante para garantir que A é invertível:
det(A) = 3cdot1 - (-1)cdot(-2) = 3 - 2 = 1 neq 0 ]

Passo 3

Para uma matriz genérica
a & b[-3pt]c & d,
a inversa é
1ad-bcd & -b[-3pt]-c & a
Aplicando em A:
A^-1 = 111 & 1[-3pt]2 & 3 = 1 & 1[-3pt]2 & 3 ]

Passo 4

O operador inverso age em (x,y) multiplicando pela matriz A^-1:
T^-1(x,y) =l(1cdot x + 1cdot y,;2cdot x + 3cdot yr) =(x+y,;2x+3y)

Resposta

c) ;T^-1(x,y)=(x+y,;2x+3y)

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