Q6: Sabemos que existe P inversivel tal que:
\left[\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 4 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ -4 & 4 & -1 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 3^{\text {a }} coluna da matrix P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}-4 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-4 \\\ \star \\\\ 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}-4 \\\ \star \\\\ 2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-4 \\\ \star \\\\ 3\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que existe matrizes P invertível e diagonal D=\operatorname{diag}(-1,a,b) tais que
A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} = P\,D\,P^{-1},
com a<b. As colunas de P são vetores próprios de A associados a -1, a e b. Como a terceira coluna de P corresponde ao maior autovalor b, precisamos encontrar o autovetor de A para \lambda=b.

Passo 2

Calculamos os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 4 & 4\\\\ 2 & 1-\lambda & 2\\\\ -4 & 4 & -1-\lambda \end{pmatrix} = -\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3.
Multiplicando por -1 e fatorando,
\lambda^3-3\lambda^2-\lambda+3=(\lambda^2-1)(\lambda-3)=0,
logo \lambda\in\{-1,1,3\}. Como a<b e um dos valores é -1, segue que a=1 e b=3.

Passo 3

Para \lambda=3 resolvemos
(A-3I)\,v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 4 & 4\\\\ 2 & -2 & 2\\\\ -4 & 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações são
4y+4z=0,\quad x-y+z=0
(terceira é redundante). Da primeira, y=-z. Substituindo na segunda,
x-(-z)+z=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2z.
Escolhendo z=1 obtemos v=(-2,-1,1).

Passo 4

Para que a primeira coordenada seja -4, basta escalar v por 2, ficando
(-4,\,-2,\,2).
Portanto, a terceira coluna de P é múltipla de \bigl[-4\;\star\;2\bigr]^{T}, correspondendo à alternativa (C).

Resposta

(C)

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