Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, \mathrm{cm} \mathrm{R}^{3} :
R=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rrr} 0 & -4 & 3 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 5 & 0 & 0 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ángulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{3}{4}
(B) -\frac{3}{5}
(C) \frac{3}{5}
(D) -\frac{4}{5}
(E) \frac{4}{5}
(F) \frac{1}{2}
(G) -\frac{3}{4}
(H) -\frac{1}{2}
(I) Não sei prazo da população independ

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz R\in\mathbb{R}^{3\times3} que representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem em \mathbb{R}^3, e pede o cosseno do ângulo de rotação.
Conteúdo: propriedade de matrizes de rotação em \mathbb{R}^3, segundo a qual
\mathrm{tr}(R) \;=\; 1 + 2\cos\theta.

Passo 2

Calculamos a traça de R. Como
R = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 0 & -4 & 3\\\\ 0 & -3 & -4\\\\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix},
temos
\mathrm{tr}(R) = \frac{0 + (-3) + 0}{5} = -\frac{3}{5}.

Passo 3

Isolando \cos\theta na relação \mathrm{tr}(R)=1+2\cos\theta, obtemos
\cos\theta = \frac{\mathrm{tr}(R)-1}{2} = \frac{-\tfrac{3}{5} - 1}{2} = \frac{-\tfrac{3}{5} - \tfrac{5}{5}}{2} = \frac{-\tfrac{8}{5}}{2} = -\frac{4}{5}.

Resposta

(D) -\tfrac{4}{5}

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