Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja
uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo
cuja direção é preservada pela ação de
.
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Seja
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado trata de duas afirmações sobre matrizes reais quadradas de ordem 7 (conteúdo: autovalores e autovetores, polinômio característico e invertibilidade). Precisamos decidir a veracidade de cada uma:
I – “Toda matriz real tem um vetor não-nulo cuja direção é preservada (isto é, tem pelo menos um autovetor real).”
II – “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela é inversível.”
I – “Toda matriz real
II – “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela é inversível.”
Passo 2
Para I, lembramos que o polinômio característico de
é de grau ímpar. Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real. Logo, existe um autovalor real
.
Passo 3
Um autovalor real
dá origem a um autovetor real não-nulo
tal que
ou seja, a direção de
é preservada. Assim, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Para II, usamos o fato de que uma matriz
é singular se, e somente se,
é autovalor de
. Se
fosse não inversível (singular), teríamos
para algum
, isto é,
seria autovetor de autovalor
. Portanto, se não existem autovetores, em particular não pode existir o autovalor
, o que implica
e, portanto,
é inversível. Logo, II também é verdadeira.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.