Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja A_{7 \times 7} uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo \vec{v} \in \mathbb{R}^{7} cuja direção é preservada pela ação de A.
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado trata de duas afirmações sobre matrizes reais quadradas de ordem 7 (conteúdo: autovalores e autovetores, polinômio característico e invertibilidade). Precisamos decidir a veracidade de cada uma:
I – “Toda matriz real 7\times7 tem um vetor não-nulo cuja direção é preservada (isto é, tem pelo menos um autovetor real).”
II – “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela é inversível.”

Passo 2

Para I, lembramos que o polinômio característico de A\in\mathbb{R}^{7\times7} é de grau ímpar. Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real. Logo, existe um autovalor real \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 3

Um autovalor real \lambda dá origem a um autovetor real não-nulo \vec v tal que
A\vec v = \lambda \vec v,
ou seja, a direção de \vec v é preservada. Assim, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Para II, usamos o fato de que uma matriz A é singular se, e somente se, 0 é autovalor de A. Se A fosse não inversível (singular), teríamos A\vec v=0 para algum \vec v\neq0, isto é, \vec v seria autovetor de autovalor 0. Portanto, se não existem autovetores, em particular não pode existir o autovalor 0, o que implica \det A\neq0 e, portanto, A é inversível. Logo, II também é verdadeira.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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