Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & -4 \\\\ -6 & -2 & 4 \\\\ 6 & 4 & -2 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 3^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{c}4 \\\ \star \\\\ 2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{c}4 \\\ \star \\\\ 3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{c}4 \\\ \star \\\\ 4\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{c}4 \\\ \star \\\\ 5\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4\\\\ -6 & -2 & 4\\\\ 6 & 4 & -2 \end{pmatrix}
e afirma que existe P inversível tal que
A = P \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0\\\\ 0 & a & 0\\\\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} P^{-1},\quad a<b.
Como as colunas de P são autovetores de A associados a -3, a e b, a terceira coluna de P é um autovetor de A para o autovalor b, que é o maior entre a e b.

Passo 2

Vamos achar todos os autovalores de A resolvendo
\det(A - \lambda I) = 0.
Calculamos
\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & -4\\\\ -6 & -2-\lambda & 4\\\\ 6 & 4 & -2-\lambda \end{pmatrix} = -\lambda(\lambda+3)(\lambda-2).
Logo os autovalores são \lambda = 0,\,-3,\,2.

Passo 3

Pela condição a<b e sabendo que os autovalores são \{-3,0,2\}, devemos ter
-3 = \text{primeiro},\quad a=0,\quad b=2.
Portanto o autovalor associado à terceira coluna de P é \lambda = 2.

Passo 4

Para \lambda=2 vemos
A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -4\\\\ -6 & -4 & 4\\\\ 6 & 4 & -4 \end{pmatrix}
e resolvemos (A-2I)x=0. Da primeira linha vem
x_1 - x_2 - 4x_3 = 0\quad\Longrightarrow\quad x_1 = x_2 + 4x_3.
Da segunda linha:
-6x_1 -4x_2 +4x_3 = 0
substituindo x_1 resulta em x_2 + 2x_3 = 0, ou seja x_2 = -2x_3. Então
x_1 = -2x_3 + 4x_3 = 2x_3.
Um autovetor é
x_3\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para que a primeira componente valha 4, escolhemos x_3=2, obtendo o autovetor
\begin{pmatrix}4\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix}.
Comparando com as opções, vemos que só (A) tem terceiro componente igual a 2.

Resposta

(A)

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