Resolva o sistema linear utilizando a Regra de Crammer, quando aplicável.
(a) 4 x+5 y & =2 11 x+y+2 z & =3 x+5 y+2 z & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. O que estamos fazendo aqui é resolver um sistema linear, que é quando você tem várias equações com várias incógnitas. Para isso, vamos precisar entender como montar determinantes e aplicar a Regra de Cramer, que é uma técnica bacana para resolver sistemas quando dá pra usar.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações que temos:
4x + 5y + 0z = 2 11x + y + 2z = 3 x + 5y + 2z = 1
Note que na primeira equação não tem o “z”, então colocamos 0z para manter tudo organizado com três variáveis: x , y e z .

Passo 3

Agora, para aplicar a Regra de Cramer, a gente precisa montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que acompanham as variáveis nas equações:
A = 4 & 5 & 0 11 & 1 & 2 1 & 5 & 2

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A , que chamaremos de De<a . O determinante para uma matriz 3x3 é calculado assim:
De<a = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso na nossa matriz:
De<a = 4(1 cdot 2 - 2 cdot 5) - 5(11 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0(11 cdot 5 - 1 cdot 1)
De<a = 4(2 - 10) - 5(22 - 2) + 0(55 - 1)
De<a = 4(-8) - 5(20) + 0(54)
De<a = -32 - 100 + 0 = -132

Passo 5

Agora, vamos calcular os determinantes para De<ax , De<ay e De<az substituindo as colunas correspondentes pelo vetor dos termos constantes (o lado direito das equações).
Para De<ax , substituímos a coluna de x :
Ax = 2 & 5 & 0 3 & 1 & 2 1 & 5 & 2
Calculando De<ax :
De<ax = 2(1 cdot 2 - 2 cdot 5) - 5(3 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0(3 cdot 5 - 1 cdot 1)
De<ax = 2(2 - 10) - 5(6 - 2) + 0(15 - 1)
De<ax = 2(-8) - 5(4) + 0(14)
De<ax = -16 - 20 + 0 = -36

Passo 6

Para De<ay , substituímos a coluna de y :
Ay = 4 & 2 & 0 11 & 3 & 2 1 & 1 & 2
Calculando De<ay :
De<ay = 4(3 cdot 2 - 2 cdot 1) - 2(11 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0(11 cdot 1 - 3 cdot 1)
De<ay = 4(6 - 2) - 2(22 - 2) + 0(11 - 3)
De<ay = 4(4) - 2(20) + 0(8)
De<ay = 16 - 40 + 0 = -24

Passo 7

Para De<az , substituímos a coluna de z :
Az = 4 & 5 & 2 11 & 1 & 3 1 & 5 & 1
Calculando De<az :
De<az = 4(1 cdot 1 - 3 cdot 5) - 5(11 cdot 1 - 3 cdot 1) + 2(11 cdot 5 - 1 cdot 1)
De<az = 4(1 - 15) - 5(11 - 3) + 2(55 - 1)
De<az = 4(-14) - 5(8) + 2(54)
De<az = -56 - 40 + 108 = 12

Passo 8

Agora que temos De<a , De<ax , De<ay e De<az , podemos encontrar as variáveis usando a Regra de Cramer:
x = De<axDe<a = -36-132 = 311
y = De<ayDe<a = -24-132 = 211
z = De<azDe<a = 12-132 = -111

Resposta

A solução do sistema é:
x = 311, y = 211, z = -111

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