Se a matriz A de tamanho n times n pode ser expressa como A=L U, em que L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior, então o sistema A x=b pode ser expresso como L U x=b e pode ser, portanto, resolvido em dois passos, como segue. Passo 1. Seja U x=y, de modo que L U x=b pode ser escrito como L y=b. Resolva este sistema.
Passo 2. Resolva o sistema U x=y em x.
Em cada item, use este método de dois passos para resolver o sistema dado.
(b) [rrr2 & 0 & 0 4 & 1 & 0 -3 & -2 & 3][rrr3 & -5 & 2 0 & 4 & 1 0 & 0 & 2][lx1 x2 x3]=[r4 -5 2]

Passo 1

O enunciado fornece a fatoração A=L,U em que
L = 2 & 0 & 0 4 & 1 & 0 -3 & -2 & 3 , U = 3 & -5 & 2 0 & 4 & 1 0 & 0 & 2 ,
e o sistema
Ax = b, b = 4-52
Definimos y=Ux, de modo que
Ly = b e Ux = y
Vamos resolver primeiro Ly=b (substituição direta) e em seguida Ux=y (substituição regressiva).

Passo 2

Resolvendo Ly=b pelo método da substituição direta, temos o sistema
2,y1 = 4, 4,y1 + y2 = -5, -3,y1 - 2,y2 + 3,y3 = 2
Da primeira equação segue
y1 = 42 = 2
Substituindo na segunda,
4cdot 2 + y2 = -5 Longrightarrow y2 = -5 - 8 = -13
Por fim, na terceira,
-3cdot 2 - 2cdot(-13) + 3,y3 = 2 Longrightarrow -6 + 26 + 3,y3 = 2 Longrightarrow 3,y3 = 2 - 20 = -18 Longrightarrow y3 = -6
Logo
y = 2-13-6

Passo 3

Agora resolvemos Ux=y por substituição regressiva, a partir do sistema
3,x1 - 5,x2 + 2,x3 = 2, 4,x2 + x3 = -13, 2,x3 = -6
Da última equação vem
x3 = -62 = -3
Na segunda,
4,x2 + (-3) = -13 Longrightarrow 4,x2 = -10 Longrightarrow x2 = -104 = -52
Finalmente, na primeira,
3,x1 - 5l(-tfrac52r) + 2(-3) = 2 Longrightarrow 3,x1 + 252 - 6 = 2 Longrightarrow 3,x1 + 132 = 2 Longrightarrow 3,x1 = 2 - 132 = -92 Longrightarrow x1 = -32

Resposta

x = -tfrac32 -tfrac52 -3

Exercícios relacionados