Resolva o sistema linear utilizando a Regra de Crammer, quando aplicável.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Crammer. Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema com três equações e três incógnitas (x1, x2 e x3). A Regra de Crammer é uma técnica que utiliza determinantes para encontrar as soluções do sistema, mas ela só funciona se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Então, vamos precisar montar essa matriz e calcular seu determinante para ver se podemos usar a Regra de Crammer.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de forma padrão, alinhando as incógnitas [x_1), e :
Note que na segunda equação não tinha , e na terceira equação não tinha , então colocamos . Isso ajuda a organizar a matriz dos coeficientes.
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes B:
A = 1 & -3 & 1 2 & -1 & 0 4 & 0 & -3 , B = 4 -2 0
A primeira coluna de A contém os coeficientes de x1, a segunda de x2 e a terceira de x3.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz A, que é essencial para a Regra de Crammer. Se o determinante for zero, a regra não pode ser aplicada porque o sistema não tem solução única.
det(A) = 1 & -3 & 1 2 & -1 & 0 4 & 0 & -3
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores, vamos calcular:
det(A) = 1 times (-1) times (-3) + (-3) times 0 times 4 + 1 times 2 times 0 - 1 times (-1) times 4 - (-3) times 2 times (-3) - 1 times 0 times 0
Como det(A) = -11 neq 0, podemos usar a Regra de Crammer.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as soluções para x1, x2 e x3 substituindo a coluna correspondente do vetor B na matriz A e calculando os determinantes resultantes.
Primeiro, para x1:
Ax1 = 4 & -3 & 1 -2 & -1 & 0 0 & 0 & -3
Calculando det(Ax1):
det(Ax1) = 4 times (-1) times (-3) + (-3) times 0 times 0 + 1 times (-2) times 0 - 1 times (-1) times 0 - (-3) times (-2) times (-3) - 4 times 0 times 0
det(Ax1) = 12 + 0 + 0 - 0 - 18 - 0 = -6
Então,
x1 = det(Ax1)det(A) = -6-11 = 611
Passo 6
Agora, para x2:
Ax2 = 1 & 4 & 1 2 & -2 & 0 4 & 0 & -3
Calculando det(Ax2):
det(Ax2) = 1 times (-2) times (-3) + 4 times 0 times 4 + 1 times 2 times 0 - 1 times (-2) times 4 - 4 times 2 times (-3) - 1 times 0 times 0