Se A é uma matriz n times n e tem inversa à esquerda (ou seja, existe uma matriz C tal que C A=I d ), por que A é inversível?
13. Considere o sistema abaixo
& x+k y+k z=-k & k x+y+z=k & k x+y+k z=k
Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de k.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, mostrar que se A é uma matriz ntimes n e existe C tal que
C,A = In,
então A é invertível. Isso usa teoria de determinantes. Em seguida, resolver o sistema em função de k:
x + k,y + k,z &= -k, k,x + y + z &= k, k,x + y + k,z &= k,
achando para quais k ele tem solução única, infinitas ou nenhuma, e depois determinar as posições dos pivôs da matriz aumentada. Para a parte algébrica vamos usar determinante para a existência de solução única e eliminação de Gauss para os casos degenerados e para achar os pivôs.

Passo 2

Prova de que CA=In implica que A é invertível.
Dado C,A=In, tomamos determinantes em ambos os lados:
det(CA)=det(C),det(A)=det(In)=1
Daí det(A)neq0, e uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo. Logo A é invertível e a inversa única de A é A^-1.

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes
Usando expansão pela primeira linha:
Calcula-se
de modo que
Portanto, se, e somente se, e . Nesses casos o sistema tem solução única.

Passo 4

Analisar os casos k=1 e k=-1:
  • Se k=1, o sistema vira
    x+y+z=-1, x+y+z=1, x+y+z=1,
    que é inconsistente ( -1neq1). Logo não há solução para k=1.
  • Se k=-1, o sistema é
    x-y-z=1, -x+y+z=-1, -x+y-z=-1
    As duas primeiras são equivalentes e a terceira dá z=0. Sobra x-y=1 com y livre. Logo há infinitas soluções para k=-1.

Passo 5

Determinação das posições dos pivôs de [Amid b] por eliminação de Gauss:
  • Para kneqpm1: aparecem pivôs em (1,1), (2,2) e (3,3).
  • Para k=-1: aparecem pivôs em (1,1) e (3,3) (coluna 2 é livre).
  • Para k=1: surge uma linha nula nos coeficientes mas com termo independente não nulo, gerando pivô na coluna do termo independente; assim pivôs em (1,1) e (2,4).

Resposta

A é invertível pois de C,A=In segue det(A)neq0.
a) O sistema tem solução única se kneqpm1.
b) O sistema tem infinitas soluções se k=-1.
c) O sistema não tem solução se k=1.
Pivôs de l[Amid br]:
  • Para kneqpm1: colunas 1, 2 e 3 (posições (1,1),(2,2),(3,3)).
  • Para k=-1: colunas 1 e 3 (posições (1,1),(3,3)).
  • Para k=1: colunas 1 e 4 (posições (1,1),(2,4)).

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