Se é uma matriz e tem inversa à esquerda (ou seja, existe uma matriz tal que ), por que é inversível?
13. Considere o sistema abaixo
Encontre todos os valores de para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de .
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, mostrar que se é uma matriz e existe tal que
então é invertível. Isso usa teoria de determinantes. Em seguida, resolver o sistema em função de :
achando para quais ele tem solução única, infinitas ou nenhuma, e depois determinar as posições dos pivôs da matriz aumentada. Para a parte algébrica vamos usar determinante para a existência de solução única e eliminação de Gauss para os casos degenerados e para achar os pivôs.
Passo 2
Prova de que implica que é invertível.
Dado , tomamos determinantes em ambos os lados:
Daí , e uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo. Logo é invertível e a inversa única de é .
Passo 3
Calcular o determinante da matriz dos coeficientes
Usando expansão pela primeira linha:
Calcula-se
de modo que
Portanto, se, e somente se, e . Nesses casos o sistema tem solução única.
Passo 4
Analisar os casos k=1 e k=-1:
Se k=1, o sistema vira
x+y+z=-1, x+y+z=1, x+y+z=1,
que é inconsistente (-1neq1). Logo não há solução para k=1.
Se k=-1, o sistema é
x-y-z=1, -x+y+z=-1, -x+y-z=-1
As duas primeiras são equivalentes e a terceira dá z=0. Sobra x-y=1 com y livre. Logo há infinitas soluções para k=-1.
Passo 5
Determinação das posições dos pivôs de [Amid b] por eliminação de Gauss:
Para kneqpm1: aparecem pivôs em (1,1), (2,2) e (3,3).
Para k=-1: aparecem pivôs em (1,1) e (3,3) (coluna 2 é livre).
Para k=1: surge uma linha nula nos coeficientes mas com termo independente não nulo, gerando pivô na coluna do termo independente; assim pivôs em (1,1) e (2,4).
Resposta
A é invertível pois de C,A=In segue det(A)neq0.
a) O sistema tem solução única se kneqpm1.
b) O sistema tem infinitas soluções se k=-1.
c) O sistema não tem solução se k=1.
Pivôs de l[Amid br]:
Para kneqpm1: colunas 1, 2 e 3 (posições (1,1),(2,2),(3,3)).