Se a matriz de uma transformação linear T: R^2 R^3 é
[T]B^C=[cc 3 & 1 2 & 5 1 & -1 ]
onde B=(-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) são as bases de R^2 e R^3, respectivamente, resolva os seguintes itens:
Se T(v)=(2,4,-2), calcule v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! O problema nos dá uma transformação linear T: R^2 R^3 com uma matriz específica em relação às bases B e C . A missão é encontrar o vetor v em R^2 que, quando aplicamos a transformação T , resulta no vetor (2, 4, -2) em R^3 .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes de transformação funcionam com relação às bases dadas e utilizar um pouco de álgebra linear para achar o vetor v .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz da transformação [T]B^C :
[T]B^C = 3 & 1 2 & 5 1 & -1
Essa matriz nos diz como a transformação T atua nos vetores da base B de R^2 e como esses são representados na base C de R^3 .

Passo 3

Vamos lembrar que B = , (-1,1), (1,0) , é a base de R^2 e C = , (1,1,-1), (2,1,0), (1,1,0) , é a base de R^3 . Isso significa que qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como combinação linear desses vetores de B , e qualquer vetor em R^3 como combinação linear dos vetores de C .

Passo 4

Queremos encontrar v tal que T(v) = (2, 4, -2) . Para isso, vamos expressar v na base B . Vamos chamar as coordenadas de v na base B de [v]B = x y .

Passo 5

A relação entre a transformação e as coordenadas é dada por:
[T]B^C cdot [v]B = [T(v)]C
Onde [T(v)]C são as coordenadas do vetor T(v) na base C . Mas já sabemos que T(v) = (2, 4, -2) , então precisamos expressar (2, 4, -2) na base C para encontrar [T(v)]C .

Passo 6

Vamos encontrar [T(v)]C resolvendo o sistema:
2 = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 1 4 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 -2 = a cdot (-1) + b cdot 0 + c cdot 0
Isso resulta em:
2 = a + 2b + c 4 = a + b + c -2 = -a
Resolvendo -2 = -a , temos a = 2 .

Passo 7

Substituindo a = 2 nas outras equações:
2 = 2 + 2b + c Rightarrow 0 = 2b + c 4 = 2 + b + c Rightarrow 2 = b + c
Agora temos:
2b + c = 0 b + c = 2
Subtraindo as equações:
(2b + c) - (b + c) = 0 - 2 b = -2

Passo 8

Com b = -2 , substituímos na equação b + c = 2 :
-2 + c = 2 Rightarrow c = 4
Então, [T(v)]C = 2 -2 4 .

Passo 9

Voltando à equação:
[T]B^C cdot [v]B = [T(v)]C 3 & 1 2 & 5 1 & -1 x y = 2 -2 4
Isso resulta no sistema de equações:
3x + y = 2 2x + 5y = -2 x - y = 4

Passo 10

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar x e y .
Primeiro, da terceira equação:
x = y + 4
Substituímos x na primeira equação:
3(y + 4) + y = 2 3y + 12 + y = 2 4y = -10 y = -104 = -52

Passo 11

Agora que temos y = -52 , substituímos na expressão x = y + 4 :
x = -52 + 4 = 32

Passo 12

Então, as coordenadas de v na base B são [v]B = 32 -52 .
Para encontrar v no sistema padrão, usamos a combinação linear dos vetores da base B :
v = 32 cdot (-1, 1) + (-52) cdot (1, 0) = ( -32, 32 ) + ( -52, 0 ) = ( -32 - 52, 32 + 0 ) = ( -4, 32 )

Resposta

O vetor v é (-4, 32) .

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