Se a matriz de uma transformação linear, T: R^2 R^3, é [T]C^B=[cc3 & 1 2 & 5 1 & -1], onde B=(-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) são as bases de R^2 e R^3 respectivamente.
(a) Encontre a expressão de T(x, y) e a matriz da transformação com respeito às bases canônicas de cada espaço.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^2toR^3 cuja matriz em relação às bases
B=(-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0)
é
[T]C^B = 3 & 1 2 & 5 1 & -1
Precisamos achar a fórmula de T(x,y) em coordenadas canônicas e a matriz padrão (em relação às bases canônicas de R^2 e R^3).

Passo 2

Para aplicar [T]C^B a (x,y) primeiro escrevemos
(x,y) = alpha(-1,1)+beta(1,0)
Da segunda componente vem alpha = y. Da primeira, -alpha+beta=x beta = x+y. Logo
alpha = y, beta = x + y

Passo 3

As coordenadas de na base são

Passo 4

Expandindo em relação aos vetores de C,
T(x,y) =(x+4y),(1,1,-1)+(5x+7y),(2,1,0)+(-x),(1,1,0)
Somando coordenada a coordenada, obtemos
T(x,y)=(10x+18y,;5x+11y,;-x-4y)

Passo 5

Da expressão
T(x,y)=(10x+18y,;5x+11y,;-x-4y)
vemos que a matriz padrão de T (colocando (x,y) como vetor coluna) é
[T]can= 10 & 18 5 & 11 -1 & -4

Resposta

A expressão de T em coordenadas canônicas é
T(x,y)=(10x+18y,;5x+11y,;-x-4y)
e a matriz de T nas bases canônicas de R^2 e R^3 é
10 & 18 5 & 11 -1 & -4

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