Sejam S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(y, x) e T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-x, y). Geometricamente, S e T produzem reflexões em relação às retas y=x e x=0 respectivamente. Determine:
(d) (T circ S)(x, y) e interprete geometricamente

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares em R^2:
S(x,y)=(y,x), que é a reflexão em torno da reta y=x, e
T(x,y)=(-x,y), que é a reflexão em torno da reta x=0.
A tarefa é calcular a composição
(Tcirc S)(x,y)
e interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

Primeiro aplicamos S a (x,y), obtendo
S(x,y)=(y,x)
Em seguida aplicamos T ao ponto (y,x), ou seja
Tl(y,xr)=l(-,y,;xr)
Logo
(Tcirc S)(x,y)=(-y,;x)

Passo 3

A transformação (x,y)mapsto(-y,x) é exatamente a rotação em torno da origem de 90^circ no sentido anti-horário. De fato, o vetor (1,0) vai em (0,1), e (0,1) vai em (-1,0), caracterizando uma rotação de 90^circ CCW.

Resposta

(Tcirc S)(x,y)=(-y,x), que geometricamente é a rotação de 90^circ no sentido anti-horário em torno da origem.

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