Sejam
e
espaços vetoriais e
uma transformação linear. Mostre que:
(a) Se os vetores
geram
, então os vetores
geram
.
(a) Se os vetores
Passo 1
O enunciado diz que
é uma transformação linear e que
gera
, ou seja,
Queremos mostrar que
gera
. Para isso, vamos usar a definição de imagem de
e a propriedade de linearidade que permite levar combinações lineares de
para combinações lineares em
.
Passo 2
Seja
. Por definição de imagem, existe algum
tal que
Como
gera
, podemos escrever
com escalares
. Aplicando
e usando linearidade, obtemos
Portanto
é combinação linear de
. Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos que
A inclusão inversa é óbvia, pois todo
já está em
. Logo
isto é,
gera
.
Resposta
Os vetores
geram
.