Sejam V e U espaços vetoriais e T: V U uma transformação linear. Mostre que:
(a) Se os vetores v1, v2, ldots, vn geram V, então os vetores T(v1), T(v2), ldots, T(vn) in U geram Im(T).

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon Vto U é uma transformação linear e que v1,v2,dots,vn gera V, ou seja,
spanv1,dots,vn=V
Queremos mostrar que T(v1),dots,T(vn) gera Im(T). Para isso, vamos usar a definição de imagem de T e a propriedade de linearidade que permite levar combinações lineares de V para combinações lineares em U.

Passo 2

Seja uin Im(T). Por definição de imagem, existe algum vin V tal que
u = T(v)
Como v1,dots,vn gera V, podemos escrever
v = a1v1 + a2v2 + cdots + anvn,
com escalares a1,dots,an. Aplicando T e usando linearidade, obtemos
u = T(v) = Tl(a1v1 + a2v2 + cdots + anvnr) = a1,T(v1) + a2,T(v2) + cdots + an,T(vn)
Portanto u é combinação linear de T(v1),dots,T(vn). Como u foi um elemento arbitrário de Im(T), concluímos que
Im(T)subseteq spanT(v1),dots,T(vn)
A inclusão inversa é óbvia, pois todo T(vi) já está em Im(T). Logo
Im(T)=spanT(v1),dots,T(vn),
isto é, T(v1),dots,T(vn) gera Im(T).

Resposta

Os vetores T(v1),T(v2),dots,T(vn) geram Im(T).

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