Sejam F, G: R^3 R^3 transformações lineares dadas por F(x, y, z)=(x+y, z+y, z) e G(x, y, z)= (x+2 y, y-z, x+2 z).
(d) F circ G é isomorfismo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a composição Fcirc G:R^3toR^3 é um isomorfismo. Como estamos em espaço de dimensão finita igual em domínio e contradomínio, basta testar se Fcirc G é invertível. Um critério prático é calcular determinantes: uma aplicação linear de R^3 em si é isomorfismo se, e somente se, o determinante da matriz associada for não nulo.

Passo 2

Vamos achar as matrizes de F e G na base canônica. Para
F(x,y,z) = (,x+y,;y+z,;z,)
temos
AF = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Para
G(x,y,z) = (,x+2y,;y-z,;x+2z,)
temos
AG = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2

Passo 3

Calculamos os determinantes:
det(AF)=1cdot1cdot1=1neq0,
det(AG) =1cdotdet1 & -10 & 2 -2cdotdet0 & -11 & 2 =1cdot(1cdot2-0)-2cdot(0-(-1)) =2-2cdot1 =0
Como det(AG)=0, G não é invertível. Logo
det(AFcirc G) =det(AF),det(AG) =1cdot0 =0,
o que mostra que Fcirc G também não é invertível.

Passo 4

Concluímos que Fcirc G não é isomorfismo, pois sua matriz tem determinante zero.

Resposta

Não. Como det(AFcirc G)=0, a composição não é invertível e, portanto, não é isomorfismo.

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