Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal são 0 , isto é, ai j=0 se i >= j. Seja S é uma matriz triangular estritamente superior n times n e sejam e1, e2, ldots, en os vetor coluna correspondentes à base canônica do R^n.
Mostre que (I-S)^-1=I+S+cdots+S^n-1

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, se S é uma matriz estritamente triangular superior de ordem n (isto é, aij=0 sempre que i>= j), então
(I - S)^-1 ;=; I + S + S^2 + cdots + S^n-1
O conteúdo aqui é a fórmula da série geométrica em matrizes, que vale sempre que S^n=0. Vamos então (1) provar que S^n=0 e (2) usar a identidade (I-S)(I+S+cdots+S^n-1)=I-S^n.

Passo 2

Provar que S^n=0. Como S é estritamente triangular superior, ao aplicar S a um vetor base ej obtemos combinações lineares de vetores ei com i<j. Cada multiplicação adicional por S diminui ainda mais o índice máximo possível. Após n multiplicações, qualquer vetor ej é levado a zero, ou seja,
S^n ej = 0 para todo j=1,dots,n
Como isso vale para todos os vetores da base canônica, conclui-se que
S^n = 0(a matriz nula)

Passo 3

Usar a série geométrica de matrizes. Considere a soma
T ;=; I + S + S^2 + cdots + S^n-1
Multiplicando à esquerda por I - S temos
(I-S),T ;=;(I-S)l(I + S + S^2 + cdots + S^n-1r)
Ao distribuir, todos os termos se cancelam em pares, exceto o primeiro e o último:
(I-S),T = I - S^n
Mas pelo Passo 2 sabemos que S^n=0. Logo
(I-S),T = I
Isso mostra que T é a inversa à direita de I-S. De modo análogo, pode-se checar que T(I-S)=I, então T é de fato a inversa de I-S.

Resposta

(I - S)^-1 = I + S + S^2 + cdots + S^n-1

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