Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal são 0 , isto é,
se
. Seja
é uma matriz triangular estritamente superior
e sejam
os vetor coluna correspondentes à base canônica do
.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, se
é uma matriz estritamente triangular superior de ordem
(isto é,
sempre que
), então
O conteúdo aqui é a fórmula da série geométrica em matrizes, que vale sempre que
. Vamos então (1) provar que
e (2) usar a identidade
.
Passo 2
Provar que
. Como
é estritamente triangular superior, ao aplicar
a um vetor base
obtemos combinações lineares de vetores
com
. Cada multiplicação adicional por
diminui ainda mais o índice máximo possível. Após
multiplicações, qualquer vetor
é levado a zero, ou seja,
Como isso vale para todos os vetores da base canônica, conclui-se que
Passo 3
Usar a série geométrica de matrizes. Considere a soma
Multiplicando à esquerda por
temos
Ao distribuir, todos os termos se cancelam em pares, exceto o primeiro e o último:
Mas pelo Passo 2 sabemos que
. Logo
Isso mostra que
é a inversa à direita de
. De modo análogo, pode-se checar que
, então
é de fato a inversa de
.