Uma matriz unitária é uma matriz quadrada \boldsymbol{A} tal que \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{T}}=\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{- 1}}. Se uma matriz unitária \boldsymbol{A} possui autovalores reais eles são 1 ou -1 .
Verdadeiro

Passo 1

O enunciado considera uma matriz real unitária (isto é, ortogonal) A satisfazendo
A^{T}=A^{-1}
e quer mostrar que, se A tem algum autovalor real \lambda, então obrigatoriamente \lambda=1 ou \lambda=-1. Para isso, vamos usar o fato de que A preserva normas, pois
A^{T}A=I.

Passo 2

Se Av=\lambda v com v\neq0, então
\|v\|^{2}=\langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle =\langle \lambda v,\lambda v\rangle =|\lambda|^{2}\,\|v\|^{2}.
Como \|v\|^{2}\neq0, segue |\lambda|^{2}=1. Se além disso \lambda é real, temos
\lambda^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\;\text{ou}\;\lambda=-1.

Resposta

Verdadeiro

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