Seja o espaço de matrizes reais \mathbb{M}_{4 \times 4} munido do produto interno dado por \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right). Calcule a norma da matriz identidade.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede a norma da matriz identidade em \mathbb{M}_{4\times4} munido do produto interno
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(B^T A). Vamos usar que a norma induzida é
\|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}.

Passo 2

Pela definição,
\|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle} =\sqrt{\operatorname{tr}(A^T A)}.
Para A=I, temos
\langle I,I\rangle=\operatorname{tr}(I^T I) =\operatorname{tr}(I).

Passo 3

Como I é identidade 4\times4, sua diagonal tem quatro entradas 1, então
\operatorname{tr}(I)=4 \quad\Longrightarrow\quad \langle I,I\rangle=4.

Passo 4

Logo
\|I\|=\sqrt{4}=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados