Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida? \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma única matriz e pede duas coisas: identificar se ela está (1) na forma linha degrau e (2) na forma linha degrau reduzida. A matriz dada é
A segunda linha é a linha nula \left[0\\\ 0\\\ 0\right].
As entradas não nulas estão em (1,1) e (3,3), ambas iguais a 1.
Passo 2
Vou lembrar (passo-a-passo, como numa prova) o que significa estar na forma linha degrau. Uma matriz está em forma linha degrau (row echelon form) se, e somente se, satisfaz as três propriedades seguintes:
Todas as linhas nulas (linhas com todos os elementos zero) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas. Em outras palavras: não pode haver uma linha não nula abaixo de uma linha nula.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de entrada principal ou leading entry) é igual a 1 (algumas definições exigem apenas que seja diferente de zero, mas a forma linha degrau costuma exigir que seja 1 ou pode-se exigir normalização posterior; aqui consideramos a versão em que aceitaremos leading entries iguais a 1 como convenientemente normalizados).
Os índices das colunas dos leading 1s formam uma sequência estritamente crescente ao descer pelas linhas (ou seja, cada leading 1 está mais à direita do que o leading 1 da linha acima).
Vou aplicar essas propriedades uma a uma na matriz A.
Passo 3
Verificação da propriedade 1 (linhas nulas abaixo das não nulas):
A linha 1 é \left[1\\\ 0\\\ 0\right] (não nula).
A linha 2 é \left[0\\\ 0\\\ 0\right] (linha nula).
A linha 3 é \left[0\\\ 0\\\ 1\right] (não nula).
A propriedade exige que todas as linhas nulas estejam abaixo de todas as linhas não nulas. Aqui temos uma linha nula (linha 2)) que está acima de uma linha não nula (linha 3)). Logo, a propriedade 1 falha.
Passo 4
Verificação das propriedades 2 e 3 (apenas para completar a análise):
Nas linhas não nulas, os leading entries são: na linha 1 o leading 1 está na coluna 1; na linha 3 o leading 1 está na coluna 3. Ambos são 1, então a propriedade 2 (leading entries iguais a 1) está satisfeita.
Quanto à posição relativa, o leading 1 da linha 3 está em uma coluna mais à direita (coluna 3)) que o da linha 1 (coluna 1)), então a propriedade 3 também seria satisfeita se as linhas não nulas estivessem na ordem correta.
Resumo: as propriedades 2 e 3 estão ok, mas a propriedade 1 (linhas nulas devem ficar por baixo) é violada porque a linha nula ficou no meio.
Passo 5
Conclusão sobre forma linha degrau: como uma das propriedades essenciais (linhas nulas abaixo das não nulas) não é satisfeita, a matriz A NÃO está na forma linha degrau.
Passo 6
Agora a forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form, RREF). Definição (propriedades adicionais em relação à forma linha degrau):
A matriz deve estar em forma linha degrau (todas as propriedades da forma degrau valem).
Além disso, cada leading 1 deve ser o único elemento não nulo na sua coluna; isto é, cada coluna que contém um leading 1 tem zeros em todas as outras posições daquela coluna.
Vou verificar isso também:
As colunas com leading 1s são a coluna 1 e a coluna 3. Na coluna 1, as entradas são [1,0,0]^T (zeros nas demais linhas) — isto está ok. Na coluna 3, as entradas são [0,0,1]^T — também ok. Portanto, no que toca a essa condição extra, A satisfaz a exigência de que os leading 1s tenham zeros nas outras entradas da coluna.
Passo 7
Conclusão sobre forma linha degrau reduzida: embora as colunas dos leading 1s satisfaçam a condição de zeros nas outras entradas, a definição de forma linha degrau reduzida exige primeiro que a matriz esteja em forma linha degrau. Já constatamos que A NÃO está em forma linha degrau (por causa da linha nula no meio). Logo, A também NÃO está em forma linha degrau reduzida.
Resposta
Forma linha degrau: não.
Forma linha degrau reduzida: não.