Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida?
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma única matriz e pede duas coisas: identificar se ela está (1) na forma linha degrau e (2) na forma linha degrau reduzida. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A matriz tem três linhas e três colunas.
  • A segunda linha é a linha nula \left[0\\\ 0\\\ 0\right].
  • As entradas não nulas estão em (1,1) e (3,3), ambas iguais a 1.

Passo 2

Vou lembrar (passo-a-passo, como numa prova) o que significa estar na forma linha degrau. Uma matriz está em forma linha degrau (row echelon form) se, e somente se, satisfaz as três propriedades seguintes:
  1. Todas as linhas nulas (linhas com todos os elementos zero) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas. Em outras palavras: não pode haver uma linha não nula abaixo de uma linha nula.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de entrada principal ou leading entry) é igual a 1 (algumas definições exigem apenas que seja diferente de zero, mas a forma linha degrau costuma exigir que seja 1 ou pode-se exigir normalização posterior; aqui consideramos a versão em que aceitaremos leading entries iguais a 1 como convenientemente normalizados).
  3. Os índices das colunas dos leading 1s formam uma sequência estritamente crescente ao descer pelas linhas (ou seja, cada leading 1 está mais à direita do que o leading 1 da linha acima).
Vou aplicar essas propriedades uma a uma na matriz A.

Passo 3

Verificação da propriedade 1 (linhas nulas abaixo das não nulas):
  • A linha 1 é \left[1\\\ 0\\\ 0\right] (não nula).
  • A linha 2 é \left[0\\\ 0\\\ 0\right] (linha nula).
  • A linha 3 é \left[0\\\ 0\\\ 1\right] (não nula).
    A propriedade exige que todas as linhas nulas estejam abaixo de todas as linhas não nulas. Aqui temos uma linha nula ( linha 2)) que está acima de uma linha não nula ( linha 3)). Logo, a propriedade 1 falha.

Passo 4

Verificação das propriedades 2 e 3 (apenas para completar a análise):
  • Nas linhas não nulas, os leading entries são: na linha 1 o leading 1 está na coluna 1; na linha 3 o leading 1 está na coluna 3. Ambos são 1, então a propriedade 2 (leading entries iguais a 1) está satisfeita.
  • Quanto à posição relativa, o leading 1 da linha 3 está em uma coluna mais à direita ( coluna 3)) que o da linha 1 ( coluna 1)), então a propriedade 3 também seria satisfeita se as linhas não nulas estivessem na ordem correta.
Resumo: as propriedades 2 e 3 estão ok, mas a propriedade 1 (linhas nulas devem ficar por baixo) é violada porque a linha nula ficou no meio.

Passo 5

Conclusão sobre forma linha degrau: como uma das propriedades essenciais (linhas nulas abaixo das não nulas) não é satisfeita, a matriz A NÃO está na forma linha degrau.

Passo 6

Agora a forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form, RREF). Definição (propriedades adicionais em relação à forma linha degrau):
  • A matriz deve estar em forma linha degrau (todas as propriedades da forma degrau valem).
  • Além disso, cada leading 1 deve ser o único elemento não nulo na sua coluna; isto é, cada coluna que contém um leading 1 tem zeros em todas as outras posições daquela coluna.
Vou verificar isso também:
  • As colunas com leading 1s são a coluna 1 e a coluna 3. Na coluna 1, as entradas são [1,0,0]^T (zeros nas demais linhas) — isto está ok. Na coluna 3, as entradas são [0,0,1]^T — também ok. Portanto, no que toca a essa condição extra, A satisfaz a exigência de que os leading 1s tenham zeros nas outras entradas da coluna.

Passo 7

Conclusão sobre forma linha degrau reduzida: embora as colunas dos leading 1s satisfaçam a condição de zeros nas outras entradas, a definição de forma linha degrau reduzida exige primeiro que a matriz esteja em forma linha degrau. Já constatamos que A NÃO está em forma linha degrau (por causa da linha nula no meio). Logo, A também NÃO está em forma linha degrau reduzida.

Resposta

Forma linha degrau: não.
Forma linha degrau reduzida: não.

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