Para quais valores de t em R o sistema linear
r x+y-w+z=12 3 y-2 w+z=14 2 x+w+z=10 t x+4 y-2 w+z=16
é consistente?

Passo 1

Temos um sistema linear de quatro equações em quatro incógnitas
Queremos determinar para quais valores de (t] esse sistema é consistente (isto é, admite solução). Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e verificar em que condição surge contradição.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e eliminando x em R3 e R4 usando R1:
R3 R3 - 2,R1 Longrightarrow (0,,-2,,3,,-1mid -14),
R4 R4 - t,R1 Longrightarrow l(0,;4 - t,;t - 2,;1 - tmid 16 - 12tr)
Agora a primeira coluna está zerada em R3,R4.

Passo 3

Usando R2colon(0,3,-2,1mid14) para eliminar a segunda coluna em R3 e R4:
R3 R3 + tfrac23R2 Longrightarrow (0,0,tfrac53,-tfrac13mid -tfrac143),
R4 R4 - tfrac4-t3R2 Longrightarrow l(0,0,tfract+23,-tfrac1+2t3mid -tfrac8+22t3r)
Multiplicando cada uma delas por 3, obtemos duas equações em w e z:
5w - z = -14,
(t+2),w - (1+2t),z = -8 - 22t

Passo 4

Para que o sistema seja consistente, as duas equações em w,z não podem entrar em contradição. Da primeira tiramos
z = 5w + 14
e substituímos na segunda:
(t+2)w - (1+2t)(5w+14) = -8 -22t
Isso leva a
(-9t -3),w = 6 + 6t Longrightarrow w = 6+6t-9t -3 = -2,1+t3t+1
Para existir essa solução, o denominador não pode ser zero: 3t+1neq0.

Passo 5

Se 3t+1=0, ou seja t=-tfrac13, o denominador some mas o numerador 1+t=1-tfrac13=tfrac23neq0, gerando contradição entre as duas equações em w,z. Logo, o sistema é inconsistente em t=-tfrac13 e consistente para todo outro tinR.

Resposta

O sistema é consistente para
tinRsetminusl-tfrac13r

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