Seja A uma matriz ortogonal. Mostre que:
Se B é ortogonal, então A B e A^-1 B A são ortogonais.

Passo 1

O enunciado diz que A é ortogonal, isto é, satisfaz
A^T A = I,
e que B também é ortogonal, ou seja,
B^T B = I
Queremos mostrar que AB e A^-1BA são ortogonais. Vamos usar a definição de matriz ortogonal ( M^T M = I), a regra de transposição de produto
(MN)^T = N^T M^T,
e o fato de que, para matriz ortogonal A, vale
A^-1 = A^T

Passo 2

Mostramos primeiro que AB é ortogonal. Calculemos
(AB)^T(AB)
Pela regra de transposição de produto,
(AB)^T = B^T A^T,
logo
(AB)^T(AB) = B^T A^T,A,B = B^T I,B = B^T B = I,
pois A^T A=I e B^T B=I. Assim AB é ortogonal.

Passo 3

Agora mostremos que A^-1BA é ortogonal. Como A^-1=A^T, defina
C = A^-1BA = A^T B A
Então, usando (XYZ)^T = Z^T Y^T X^T,
C^T = (A^T B A)^T = A^T B^T A
Logo
C^T C = (A^T B^T A)(A^T B A) = A^T B^T,(A A^T),B A = A^T B^T I B A = A^T I A = A^T A = I,
pois A A^T=I e A^T A=I. Portanto C=A^-1BA é ortogonal.

Resposta

AB e A^-1BA são matrizes ortogonais.

Exercícios relacionados