Seja
uma matriz ortogonal. Mostre que:
Se
é ortogonal, então
e
são ortogonais.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é ortogonal, isto é, satisfaz
e que
também é ortogonal, ou seja,
Queremos mostrar que
e
são ortogonais. Vamos usar a definição de matriz ortogonal (
), a regra de transposição de produto
e o fato de que, para matriz ortogonal
, vale
Passo 2
Mostramos primeiro que
é ortogonal. Calculemos
Pela regra de transposição de produto,
logo
pois
e
. Assim
é ortogonal.
Passo 3
Agora mostremos que
é ortogonal. Como
, defina
Então, usando
,
Logo
pois
e
. Portanto
é ortogonal.