Sejam
espaço com p.i.,
um operador autoadjunto e
um autovetor de
. Mostre que o subespaço
é T-invariante.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço com produto interno,
é autoadjunto e
é um autovetor de
. Queremos mostrar que o subespaço
é
-invariante, isto é, que para todo
com
vale
.
Passo 2
Se
, então por definição
Para mostrar que
também está em
, bastará provar
Passo 3
Como
é autoadjunto, vale a propriedade de simetria do produto interno:
Passo 4
Por
ser autovetor, existe
tal que
. Então
Logo
, ou seja,
é ortogonal a
.
Resposta
O subespaço
é
-invariante, pois
leva vetores ortogonais a
em vetores também ortogonais a
.