Sejam V espaço com p.i., T: V V um operador autoadjunto e u in V um autovetor de T. Mostre que o subespaço
(>=ru)^perp=v in V midlang<= u, vrang<==0
é T-invariante.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço com produto interno, T:Vto V é autoadjunto e uin V é um autovetor de T. Queremos mostrar que o subespaço
(>=ru)^perp=vin Vmidlang<= u,vrang<==0
é T-invariante, isto é, que para todo v com lang<= u,vrang<==0 vale lang<= u,T(v)rang<==0.

Passo 2

Se vin(>=ru)^perp, então por definição
lang<= u,vrang<==0
Para mostrar que T(v) também está em (>=ru)^perp, bastará provar
lang<= u,T(v)rang<==0

Passo 3

Como T é autoadjunto, vale a propriedade de simetria do produto interno:
lang<= u,T(v)rang<==lang<= T(u),vrang<=

Passo 4

Por u ser autovetor, existe lambdainK tal que T(u)=lambda,u. Então
lang<= T(u),vrang<= =lang<= lambda,u,vrang<= =lambda,lang<= u,vrang<= =lambdacdot0 =0
Logo lang<= u,T(v)rang<==0, ou seja, T(v) é ortogonal a u.

Resposta

O subespaço (>=ru)^perp é T-invariante, pois T leva vetores ortogonais a u em vetores também ortogonais a u.

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