Obtenha a solução do sistema de equações algébricas lineares mostrado abaixo de acordo com o método de Decomposição de Doolitle. Em todos os casos apresente as matrizes fatores correspondentes.
A=[lll 1 & 2 & 2 2 & 5 & 7 3 & 6 & 8 ] ; z=[r 10 -3 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares que a gente precisa resolver usando o método de Decomposição de Doolittle. A matriz do sistema é:
A = 1 & 2 & 2 2 & 5 & 7 3 & 6 & 8
E o vetor resultado é:
z = 10 -3 4
Para resolver esse sistema, vamos decompor a matriz A em duas matrizes, L e U, onde L é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e U é uma matriz triangular superior. Depois, resolvemos duas equações mais simples para encontrar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos iniciar a decomposição de Doolittle. A ideia é encontrar L e U tais que:
A = L U
Vamos montar as matrizes L e U da seguinte forma:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Aqui, os lij e uij são os elementos que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos começar a calcular os elementos de U.
Primeiro, u11 é simplesmente o primeiro elemento da matriz A:
u11 = 1
Agora, calculamos u12 e u13:
u12 = 2, u13 = 2
Próximo, encontramos l21. Para isso, usamos a relação:
l21 = a21u11 = 21 = 2

Passo 4

Continuando, vamos calcular u22:
u22 = a22 - l21 cdot u12 = 5 - 2 cdot 2 = 1
Em seguida, calculamos u23:
u23 = a23 - l21 cdot u13 = 7 - 2 cdot 2 = 3
Agora, vamos achar l31:
l31 = a31u11 = 31 = 3
E por fim, l32:
l32 = a32 - l31 cdot u12u22 = 6 - 3 cdot 21 = 0

Passo 5

Por último, calculamos u33:
u33 = a33 - l31 cdot u13 - l32 cdot u23 = 8 - 3 cdot 2 - 0 cdot 3 = 2
Agora, já temos todas as entradas de L e U:
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 , U = 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 2

Passo 6

Agora que temos [\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{U}), vamos resolver o sistema em duas etapas:
  1. Resolver
  2. Resolver
Primeiro, resolvemos :
Substituindo (y_1 = 10]:
Então, .

Passo 7

Agora, resolvemos [\mathbf{U} x = y):
Começamos pela última equação:
Substituindo (x_3] na segunda equação:
Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 4 16 -13
As matrizes fatoras são:
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 , U = 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 2

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