Mais matrizes não semelhantes.
(3) Mostre que as matrizes
A=(llll 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 ) , B=(llll 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 )
não são semelhantes. [DICA: calcule A^2, B^2 e use o exercício 3]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A= 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 e B= 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
não são semelhantes. Vamos usar o fato (Exercício 3) de que, se duas matrizes são semelhantes, então todas as suas potências são semelhantes, envolvendo em particular conservação de posto:
Asim B;Longrightarrow;A^2sim B^2;Longrightarrow;rank(A^2)=rank(B^2)

Passo 2

Calculemos A^2. Como A só tem entradas não nulas em (1,2) e (3,4), ao multiplicar A por si mesma não há encadeamento de índices que gere não-zero. Logo
A^2 = Acdot A = 04times4
Isto implica
rank(A^2)=0

Passo 3

Agora calculemos B^2. A matriz B tem uns em (1,2) e (2,3), de modo que
(B^2)1,3 = sumk=1^4 B1,k,Bk,3 = B1,2,B2,3 =1cdot1=1,
todas as outras entradas de B^2 são zero. Portanto
B^2 = 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
e assim
rank(B^2)=1

Passo 4

Se A e B fossem semelhantes, teríamos rank(A^2)=rank(B^2). Mas vimos que
rank(A^2)=0neq1=rank(B^2),
logo não podem ser semelhantes.

Resposta

As matrizes A e B não são semelhantes.

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