Com respeito à base C de R^3, o endomorfismo T: R^3 R^3 tem matriz
[T]C^C=(ccc 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 )
(1) Explique por que n ão existe uma base B de R^3 com respeito a qual a matriz de T é
[T]B^B=(lll 3 & 2 & 1 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 )

Passo 1

O enunciado diz que o endomorfismo TcolonR^3toR^3 tem em uma base C a matriz
A = [T]C^C = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1
e pergunta se existe outra base B em que
[T]B^B = 3 & 2 & 1 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Vamos usar teoria de similaridade de matrizes para responder.

Passo 2

Duas matrizes A e M representam o mesmo endomorfismo em bases diferentes se, e somente se, elas são semelhantes, i.e. existe matriz invertível P tal que
M = P^-1AP
Nesse caso, certas grandezas são invariantes por similaridade, em particular o traço e o polinômio característico.

Passo 3

Calculamos o traço de A e de M. O traço é a soma dos elementos da diagonal principal. Para
A = 1&2&30&1&11&1&1
temos
tr(A)=1+1+1=3
Para
M = 3&2&11&1&01&1&1
temos
tr(M)=3+1+1=5

Passo 4

Como tr(A)=3neq5=tr(M), as matrizes não podem ser semelhantes.

Resposta

Não existe base B com respeito à qual [T]B^B seja a matriz dada, pois o traço de uma matriz é invariante por similaridade e aqui ele difere ( 3neq5).

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