Para matrizes quadradas de mesma ordem e , dizemos que comuta com , se . Encontre todas as matrizes que comutam com a matriz
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as matrizes quadradas X de ordem 2 que comutam com
A = 1 & -1 [6pt] 0 & 2,
isto é, satisfazem X A = A X. O conteúdo é o cálculo do centralizador de A pela condição de comutação.]
Passo 2
Vamos tomar a matriz genérica
X = a & b [4pt] c & d,
com a,b,c,dinR, e impor X A = A X.]
Passo 3
Calculemos X A:
X A = a & b c & d 1 & -1 [3pt] 0 & 2 = acdot1 + bcdot0 & acdot(-1) + bcdot2 [4pt] ccdot1 + dcdot0 & ccdot(-1) + dcdot2 = a & -a + 2b [4pt] c & -c + 2d ]
Passo 4
Calculemos A X:
A X = 1 & -1 [3pt] 0 & 2 a & b [4pt] c & d = 1cdot a + (-1)cdot c & 1cdot b + (-1)cdot d [4pt] 0cdot a + 2cdot c & 0cdot b + 2cdot d = a - c & b - d [4pt] 2c & 2d ]
Passo 5
Impondo
Das primeiras e últimas igualdades vem obtemos
Passo 6
Concluímos que as matrizes que comutam com A são aquelas com