Se A=A^t e B=B^t, quais das matrizes a seguir são simétricas?
A B A

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas tais que
A = A^t e B = B^t
Queremos verificar se a matriz ABA também é simétrica, ou seja, se ela satisfaz a definição de matriz simétrica.

Passo 2

Lembrando que uma matriz M é simétrica se, e somente se,
M^t = M
Logo, para checar a simetria de ABA, basta comparar (ABA)^t com ABA.

Passo 3

Vamos calcular o transposto de ABA. Usando a propriedade (XY)^t = Y^tX^t para matrizes compatíveis, temos
(ABA)^t = A^t , B^t , A^t

Passo 4

Como A e B são simétricas, temos A^t=A e B^t=B. Substituindo na expressão anterior, obtemos
(ABA)^t = A , B , A = ABA
Isso mostra que (ABA)^t = ABA, ou seja, ABA é simétrica.

Resposta

A matriz ABA é simétrica.

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