Se A=A^t e B=B^t, quais das matrizes a seguir são simétricas?
A B A B

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes simétricas, ou seja
A = A^t e B = B^t
Queremos investigar quais das matrizes
AB,;ABA,;ABAB
são simétricas, usando a propriedade geral de transposta
(MN)^t = N^t M^t.

Passo 2

Vamos ao produto AB. Calculamos sua transposta:
(AB)^t = B^t A^t
Como A^t=A e B^t=B, isso fica
(AB)^t = BA

Passo 3

A matriz AB é simétrica se e só se (AB)^t = AB. Logo
BA = AB,
isto é, AB é simétrica exatamente quando A e B comutam.

Passo 4

Agora ABA. A transposta é
(ABA)^t = A^t B^t A^t = A,B,A,
pois A^t=A e B^t=B.

Passo 5

Como (ABA)^t = ABA, concluímos que ABA é sempre simétrica, sem outras hipóteses.

Passo 6

Por fim ABAB. A transposta vale
(ABAB)^t = B^t A^t B^t A^t = B,A,B,A

Passo 7

Para ABAB ser simétrica precisamos
B,A,B,A = A,B,A,B,
ou seja, ABAB = BABA, o que equivale a exigir que AB=BA.

Resposta

AB é simétrica se e somente se AB=BA.
ABA é sempre simétrica.
ABAB é simétrica se e somente se AB=BA.

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