Se
e
, quais das matrizes a seguir são simétricas?
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes simétricas, ou seja
Queremos investigar quais das matrizes
são simétricas, usando a propriedade geral de transposta
.
são simétricas, usando a propriedade geral de transposta
Passo 2
Vamos ao produto
. Calculamos sua transposta:
Como
e
, isso fica
Passo 3
A matriz
é simétrica se e só se
. Logo
isto é,
é simétrica exatamente quando
e
comutam.
Passo 4
Agora
. A transposta é
pois
e
.
Passo 5
Como
, concluímos que
é sempre simétrica, sem outras hipóteses.
Passo 6
Por fim
. A transposta vale
Passo 7
Para
ser simétrica precisamos
ou seja,
, o que equivale a exigir que
.
Resposta
–
é simétrica se e somente se
.
– é sempre simétrica.
– é simétrica se e somente se
.
–
–